$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}$ limiti (L'hopital ve seri yontemleri disinda)

2 beğenilme 0 beğenilmeme
109 kez görüntülendi

$$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}$$ limitini L'hopital ya da seri yontemi kullanmadan bulunuz.

1) L'hopital yontemi iki kere uygulaninca cozume ulasabiliriz.
2) $e^x$ fonksiyonunun seri acilimini kullanmamiz yeterli.

9, Mart, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Sercan (23,203 puan) tarafından  soruldu

4 Cevaplar

3 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Limitinin var oldugunu kabul edeilm ve bu limit $L$ olsun.

$$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^x-1-x}{x^2} = \lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{e^x+1+x}\right)\left(\dfrac{e^{2x}-(1+x)^2}{x^2}\right)$$$$= \lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{e^x+1+x}\right)\left(4\dfrac{e^{2x}-1-2x}{4x^2}-1\right)$$$$ = \lim\limits_{x\to 0}4\left(\dfrac{1}{e^x+1+x}\right)\left(\dfrac{e^{2x}-1-2x}{4x^2}\right)-\dfrac{1}{2}$$$$ = 2\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{e^x-1-x}{x^2}\right)-\dfrac{1}{2}$$ olur. Buradan $$L=2L-\frac12$$ gelir.

9, Mart, 2016 Sercan (23,203 puan) tarafından  cevaplandı
29, Aralık, 2016 Anil tarafından seçilmiş
Bir limitin var oldugunu kabul ederek bir limit degeri bulursak ...

temiz olmuş elinize sağlık.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$\begin{align*} & e^{x}=1+x+\dfrac {x^{2}} {2!}+\dfrac {x^{3}} {3!}.......\\ & \end{align*} $

$e^{x}-1-x=\dfrac {x^{2}} {2!}+\dfrac {x^{3}} {3!}+.....$

$\dfrac {e^{x}-1-x} {x^{2}}=\dfrac {\dfrac {x^{2}} {2!}+\dfrac {x^{3}} {3!}+.....} {x ^{2}}$

ve

$\lim _{x\rightarrow 0}\left( \dfrac {1} {2!}+\dfrac {x} {3!}+\dfrac {x^{2}} {4!}-\right) =\dfrac {1} {2!}$


olur.

9, Mart, 2016 Anil (7,670 puan) tarafından  cevaplandı
9, Mart, 2016 Anil tarafından yeniden gösterildi

soruda bu yontemlerin kullanilmamasi isteniyor.

"2) exex fonksiyonunun seri acilimini kullanmamiz yeterli." seri açılımı bu degilmi

tamam en sondaki notu şimdi kavradım :D birdaha düşünüyim 

0 beğenilme 0 beğenilmeme
image Siteye tabletle girdiğim icin latex kullanarak yazmam nerdeyse imkansız,  süekli birbirini terarkayan harfler oluyor, eve gecince latexle yazmaya çalışırım, sru guzel olunca çözümü paylaşmadan edemedim, teşekkür ederim, kusura bakmayin...
9, Mart, 2016 temelgokce (940 puan) tarafından  cevaplandı

Cözüm mükemmel!

Güzel düşünceleriniz için teşekkür ederim...

Soru cevaplandigindan ek cevaplara acigiz artik, fotonyiyen :)

Mavi renki $1$ nereden geldi?

hocam aynen bende orda kafayı yedım ya daha aptal gözükmüyüm diye sormaya utandım hangi yöntemle limitten 1 olarak çıktı efendim orası...

e sayısının limit gösterimi...

Onu bulurken l'hopital ya da seri kullanılıyor mu peki? Nasıl bulunuyor?

Evet ikiside kullanılıyor, e sayısını (1+1/n)^n dizisinin limiti olarak öğrendiğimiz için bilindik bir durum olduğunu düşündüm. Diğer şekillerde dönüşümlerle ulaşılabilir mi şu an bilmiyorum, uğraşmak gerekli...

0 beğenilme 0 beğenilmeme

(serilerle çözüme benzediği için) Biraz hileli gibi olacak ama KalanlıTaylor Teoremi ile yapılabilir.

($e^x$ cebirsel bir fonksiyon olmadığından) klasik çarpanlara ayırıp sadeleştirme bu durumda imkansızdır ve bu fonksiyon hakkında türevleri dışında pek bilgimiz olmadığı için pek fazla seçeneğimiz de yok.

Kalanlı Taylor Teoreminden (her $x\neq0$ için)

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{e^z}{3!}x^3$ olacak şekilde (0 ile $x$ arasında, $x$ e bağlı) en az bir $z$ sayısı vardır.

Bu da, $|x|<1$ iken ($0<e^z<e$ olacağı için),

 $\left| \frac{e^x-1-x}{x^2}-\frac{1}{2}\right|\leq\frac{e}{6}|x|$ olur.

Buradan, Sıkıştırma Teoremi kullanarak,

$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=\frac12$ elde edilir.

11, Mart, 2016 DoganDonmez (3,534 puan) tarafından  cevaplandı
11, Mart, 2016 DoganDonmez tarafından düzenlendi
...