Question

$G$ basit bir grup , $n$ pozitif tamsayısı için $\psi:S_{n}\rightarrow G$ bir epimorfizma olsun. Uygun bir $k\leq n$ için $G\simeq S_{k}$ olduğunu gösteriniz.

Comments

simple'ı basit'e çevirdim.

Answer 1

$n>5$ için $S_n$'in üç tane normal altgrubu var. $e$, $A_n$ ve $S_n$. $S_n/\ker(\psi)\simeq G$ olduğundan $G$ ya $S_n$ ya $S_2$ ya da $S_1$ olur.

Comments

cok simple olmus.

---

Peki $n=4$ için $S_{4}$ ün başka normal altgrupları var. Bunlar için de benzer şeyler söyleyebilir miyiz?

---

Yani $G$ grubunun basit olması $n\geq 6$ için $G$'nin basit olmasına gerek yok. 

Daha küçük $n$'ler için şöyle yapılabilir. $S_5$ 120 elemanlı. $S_5$'in örttüğü bir grup $S_5$ değilse eleman sayısı $\leq 60$ olmalı. Mertebesi $60$'a kadar olan basit grupların bulunması her cebir kitabında alıştırma olarak bulunur.

---

İnanın hiç birşey anlamadım.

---

Bir de $Ker \psi=\{e\}$ iken $G\simeq S_{n}$ olup $G$ basit olmuyor!

---

o zaman $n$ kucukken kernel $\{e\}$ olamazmis, cunku kabulumuz $G$'nin basit olmasi.

---

Acaba Cayley teoreminden mi gideceğiz?

---

Demek ki $G$ basitse $G=S_2$ ya da $S_1$ olabilir, $n\geq 6$ ise.

---

$n \geq 6$ iken $S_{n}$ in başka normal altgrupları olmadığını nereden biliyoruz?

---

Şöyle bir şey var. $\phi:S_n\longrightarrow G$ örtense $$S_n/\ker\varphi\simeq G$$ buluruz. Yukarıdaki nedenle de üç olasılık vardır $n\geq 6$ için:

1. $G\simeq S_n$;
2. $G\simeq S_2$;
3. $G\simeq S_1$.

$G$ basitse, buradan çıkacak sonuç $G\simeq S_i$, $i=1,2$. Diyelim $n=5$ olsun. Eğer $G$ basitse $S_5$ olamaz. $G$'nin eleman sayısı $S_5$'in eleman sayısını böleceği için $|G|\leq 60$ olmalı.

Şu bağlantıda döngüsel olmayan en küçük basit grubun $60$ elemanlı olduğunun kanıtı var.

http://jeremykun.com/2011/10/08/the-smallest-non-cyclic-simple-group-has-order-60/

---

O kolaylıkla ispatlanabilir. $S_n$'e göre eşlenik olan bazı elemanların $A_n$'e göre de eşlenik olmasıyla gösteriliyor. $n$ küçük olunca bu sözünü ettiğim şeyi ispatlayamıyorsun çünkü yeterince hareket edecek yer olmuyor.

---

Tamam çok teşekkür ediyorum Şafak bey. Ben yukarıdaki linki inceleyim sorum olursa yazacağım.

---

Ya bi de bana bey demeseniz. Gülesim geliyor.

---

tamam Şafak hocam. oldu mu?

---

benim email adresim bildiginessek. hoca da beni güldürüyor. hoca, bey falan gerek yok.

---

Bu maili turkmath da görüyorum değil mi?

---

evet turkmath'a da mail atıyorum.

---

hep merak ediyordum bu mail adresini kim kullanıyor, niye böyle bir adres almış diye! Ama az da olsa anlıyorum galiba.