$G$ basit bir grup , $n$ pozitif tamsayısı için $\psi:S_{n}\rightarrow G$ bir epimorfizma olsun. Uygun bir $k\leq n$ için $G\simeq S_{k}$ olduğunu gösteriniz.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
139 kez görüntülendi


3, Nisan, 2015 Akademik Matematik kategorisinde Handan (1,495 puan) tarafından  soruldu
3, Nisan, 2015 Safak Ozden tarafından düzenlendi

simple'ı basit'e çevirdim.

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap
$n>5$ için $S_n$'in üç tane normal altgrubu var. $e$, $A_n$ ve $S_n$. $S_n/\ker(\psi)\simeq G$ olduğundan $G$ ya $S_n$ ya $S_2$ ya da $S_1$ olur.
3, Nisan, 2015 Safak Ozden (3,384 puan) tarafından  cevaplandı
3, Nisan, 2015 Handan tarafından seçilmiş

cok simple olmus.

Peki $n=4$ için $S_{4}$ ün başka normal altgrupları var. Bunlar için de benzer şeyler söyleyebilir miyiz?

Yani $G$ grubunun basit olması $n\geq 6$ için $G$'nin basit olmasına gerek yok. 

Daha küçük $n$'ler için şöyle yapılabilir. $S_5$ 120 elemanlı. $S_5$'in örttüğü bir grup $S_5$ değilse eleman sayısı $\leq 60$ olmalı. Mertebesi $60$'a kadar olan basit grupların bulunması her cebir kitabında alıştırma olarak bulunur.

İnanın hiç birşey anlamadım.
Bir de $Ker \psi=\{e\}$ iken $G\simeq S_{n}$ olup $G$ basit olmuyor!

o zaman $n$ kucukken kernel $\{e\}$ olamazmis, cunku kabulumuz $G$'nin basit olmasi.

Acaba Cayley teoreminden mi gideceğiz?

Demek ki $G$ basitse $G=S_2$ ya da $S_1$ olabilir, $n\geq 6$ ise.

$n \geq 6$ iken $S_{n}$ in başka normal altgrupları olmadığını nereden biliyoruz?

Şöyle bir şey var. $\phi:S_n\longrightarrow G$ örtense $$S_n/\ker\varphi\simeq G$$ buluruz. Yukarıdaki nedenle de üç olasılık vardır $n\geq 6$ için:

  1. $G\simeq S_n$;
  2. $G\simeq S_2$;
  3. $G\simeq S_1$.

$G$ basitse, buradan çıkacak sonuç $G\simeq S_i$, $i=1,2$. Diyelim $n=5$ olsun. Eğer $G$ basitse $S_5$ olamaz. $G$'nin eleman sayısı $S_5$'in eleman sayısını böleceği için $|G|\leq 60$ olmalı.

Şu bağlantıda döngüsel olmayan en küçük basit grubun $60$ elemanlı olduğunun kanıtı var.

http://jeremykun.com/2011/10/08/the-smallest-non-cyclic-simple-group-has-order-60/

O kolaylıkla ispatlanabilir. $S_n$'e göre eşlenik olan bazı elemanların $A_n$'e göre de eşlenik olmasıyla gösteriliyor. $n$ küçük olunca bu sözünü ettiğim şeyi ispatlayamıyorsun çünkü yeterince hareket edecek yer olmuyor.
Tamam çok teşekkür ediyorum Şafak bey. Ben yukarıdaki linki inceleyim sorum olursa yazacağım.

Ya bi de bana bey demeseniz. Gülesim geliyor.

tamam Şafak hocam. oldu mu?
benim email adresim bildiginessek. hoca da beni güldürüyor. hoca, bey falan gerek yok.
Bu maili turkmath da görüyorum değil mi?

evet turkmath'a da mail atıyorum.

hep merak ediyordum bu mail adresini kim kullanıyor, niye böyle bir adres almış diye! Ama az da olsa anlıyorum galiba.
...