Simetri Nereden Geliyor

Question

$a=b+c$ olduğunu biliyorsak ,

                                   $a^4+b^4+c^4=2b^2c^2+2c^2a^2+2a^2b^2$     

olduğunu gösteriniz.

Comments

Baslik ile sorunun baglantisi nedir acaba?

---

son eşitlik $a, b, c$ ye göre simetrik fakat ilk verilen eşitlik simetrik değil 

---

evet, oyle dusunursek.. Peki nerden geliyor? :) Sebebi nedir anlaminda..

---

şöyle düşünelim ; 

                                  $b=a+c$ , $c=a+b$ veya $a+b+c=0$  

galiba sebebi bu olsa gerek bu eşitliklerle de başlarsak aynı sonuç çıkıyor :-)

---

Eşitliğin sol tarafı da $a,b,c$'ye göre simetrik.

---

son dedigi tamami, ilk olan $a=b+c$

---

Şafak hocam Tom Apostol dışında , ince detaylarına kılcallarına kadar konuyu özümseyeceğim , calculus kitabı önerirmisiniz , ayrıca kompleks analiz kitabı da eğer mümkünse  , gönderdiğiniz stein ve şekerci volume 2 , peki volume 1 in linkini bulamadım sizde mevcutsa rica edeceğim , teşekkürler

---

Valla şu diyebileceğim hiç kitap yok. Ben hem calculus bilmem hem de hiç calculus anlatma şansım olmadı. Bence burada bu konuda benden daha iyi öneride bulunabilecek başka kişiler var. Salih Durhan, nygc ilk aklıma gelenler. Daha deneyimli kişileri de görüyorsundur, onlara da sorabilirsin ama ben buradan sor demek istemiyorum.

Answer 1

$(a^2+b^2+c^2)^2=a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)$

$0=(a-b-c)^2=a^2+b^2+c^2-2ab-2ac+2bc$

o halde

$a^4+b^4+c^4=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)$
$=(2ab+2ac-2bc)^2-2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)$
$=2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-8abc(a-b-c)$
$=2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)$

Comments

$(a-b-c) ,(b-c-a), (c-a-b), (a+b+c)$ ifadeleri

       

                        $a^4+b^4+c^4-2b^2c^2-2c^2a^2-2a^2b^2$  

çarpanları olmalıdır ve son ifade ;

    

                                   $(a+b+c)(a-b-c)(b-c-a)(c-a-b)$ 

ifadesine eşittir.

---

evet, yorum daha şık, o nedenle yorumla birlikte "best answer"..

---

estağfurullah hocam sizin aademik sorular bana uzaylı dili gibi geliyor :-))) matematik köyüne bir 3 yıl takılmalıyım sanırım herhalde bu gidişle 40 ımda doktora biter , 50 de doçent , 60 da proof olurum , Einstein ın dediği gibi 30 una  kadar buldun buldun sonra zor demiş :-)))

---

Prof diyecekken proof demişim , 60 da proof ilginç oldu , ilginç bir kanıt verip Einstein ı haksız mı çıkaracağım zor gibi ama.. :-)

Answer 2

doğru ilk olanda dahil 

Answer 3

$a=b+c$ olduğuna göre her iki tarafın da karesini alırız.

$a^2=b^2+2bc+c^2$ kareli ifadeleri bir tarafa toplayalım.

$a^2-b^2-c^2=2bc$ yine her iki tarafın karesini alalım.

$a^4+b^4+c^4+2(b^2c^2-a^2b^2-a^2c^2)=4b^2c^2$ düzenleyelim.

$a^4+b^4+c^4=2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2$ eşitliğini elde ederiz.