Önce şunu (her fonksiyon ve her a\in\mathbb{R} için) gösterebiliriz (L sonlu veya sonsuz farketmez):
\lim_{x\to+\infty}f(x)=L\textrm{ ise }\lim_{x\to+\infty}f(x+a)=L \textrm{ olur.}
\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sin x=L (L sonlu veya sonsuz) varsayıp, bunu a=\pi alarak kullanalım.
\lim_{x\to+\infty}\sin x=L\textrm{ ise }\lim_{x\to+\infty}\sin(x+\pi)=L \textrm{ olur.}
Ama \sin(x+\pi)=-\sin x olduğundan (ve limitin özelliklerinden)
L=-L elde edilir. Bu da L=0 olması demektir. (L=+\infty veya L=-\infty iken bu eşitliğin imkansız olduğunu göstermek gerekir veya aşağıdaki argümanı kullanabiliriz)
Şimdi de a=\frac\pi2 alıp aynı sonucu kullanalım:
\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sin (x+\textstyle\frac\pi2)=0 olacaktır. Bu da, \sin(x+\frac\pi2)=\cos x oluşunu kullanarak \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\cos x=0 sonucunu verir.
1=\lim_{x\to+\infty}(\sin^2 x+\cos^2 x)=\lim_{x\to+\infty}\sin^2 x+\lim_{x\to+\infty}\cos^2 x=0^2+0^2=0
elde ettik. Çelişki