Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
22.1k kez görüntülendi

limxsinx limiti hakkında ne söylersiniz?

Lisans Matematik kategorisinde (31 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 22.1k kez görüntülendi

2 Cevaplar

4 beğenilme 0 beğenilmeme

Önce şunu (her fonksiyon ve her aR için) gösterebiliriz  (L sonlu veya sonsuz farketmez):

limx+f(x)=L ise limx+f(x+a)=L olur.

limx+sinx=L (L sonlu veya sonsuz) varsayıp, bunu  a=π alarak kullanalım.

limx+sinx=L ise limx+sin(x+π)=L olur.

Ama sin(x+π)=sinx olduğundan (ve limitin özelliklerinden) 

L=L elde edilir. Bu da L=0 olması demektir. (L=+ veya L= iken bu eşitliğin imkansız olduğunu göstermek gerekir veya aşağıdaki argümanı kullanabiliriz)

Şimdi de a=π2 alıp aynı sonucu kullanalım:

limx+sin(x+π2)=0 olacaktır. Bu da, sin(x+π2)=cosx oluşunu kullanarak limx+cosx=0 sonucunu verir.

1=limx+(sin2x+cos2x)=limx+sin2x+limx+cos2x=02+02=0

elde ettik. Çelişki

(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Çok güzel bir yorum. Zihninize sağlık

Ufak bir ekleme yapim izninizle. sin x in alt ve üstsınırından dolayı limiti sonsuz olamaz. Yani L=± durumları zaten olamaz. 

Limitle ilgili teoremler  dışında hiç bir şey kullanmadan çözmek istedim.

Zaten bu da limit ile ilgili bir teoremdir. Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti fonksiyonun o noktanın bir (delik) komşuluğundaki alt sınırından küçük üst sınırından büyük olamaz. 

Elbette ki haklısınız.

limxSinx=?, limxCosx=?
1 beğenilme 0 beğenilmeme

Çözümde kullandığım önerme, tamamen geometrik olarak, şöyle ispatlanabilir (elbette analitik olarak da gösterilebilir)

Sonsuzda limit tanımından görülebileceği gibi (L sonlu iken):

limx+f(x) olması y=f(x) eğrisinin y=L (yatay) doğrusuna ( sağa giderken) asimptotik olmasına eşdeğerdir.

y=f(x+a) eğrisi ise y=f(x) eğrisinin, |a| kadar sağa veya sola (yatay olarak) kaydırılmış şeklidir. Bu nedenle ( sağa giderken) (yatay bir doğruya) asimptotik olma özelliği değişmeyecektir.

L=+ veya L= durumu da benzer  şekilde (asimptot olmak yerine yatay doğruların üstünde veya altında kalmayı düşünerek) gösterilebilir.

(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Peki sorunun cevabı ne acaba?

limx+sinx=L  olduğu varsayımı bir çelişkiye yol açıyor. Öyleyse limitin var olmadığını göstermiş olduk.

20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,817 kullanıcı