Processing math: 0%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
22.1k kez görüntülendi

\lim_{x \to \infty} \sin x limiti hakkında ne söylersiniz?

Lisans Matematik kategorisinde (31 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 22.1k kez görüntülendi

2 Cevaplar

4 beğenilme 0 beğenilmeme

Önce şunu (her fonksiyon ve her a\in\mathbb{R} için) gösterebiliriz  (L sonlu veya sonsuz farketmez):

\lim_{x\to+\infty}f(x)=L\textrm{ ise }\lim_{x\to+\infty}f(x+a)=L \textrm{ olur.}

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sin x=L (L sonlu veya sonsuz) varsayıp, bunu  a=\pi alarak kullanalım.

\lim_{x\to+\infty}\sin x=L\textrm{ ise }\lim_{x\to+\infty}\sin(x+\pi)=L \textrm{ olur.}

Ama \sin(x+\pi)=-\sin x olduğundan (ve limitin özelliklerinden) 

L=-L elde edilir. Bu da L=0 olması demektir. (L=+\infty veya L=-\infty iken bu eşitliğin imkansız olduğunu göstermek gerekir veya aşağıdaki argümanı kullanabiliriz)

Şimdi de a=\frac\pi2 alıp aynı sonucu kullanalım:

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sin (x+\textstyle\frac\pi2)=0 olacaktır. Bu da, \sin(x+\frac\pi2)=\cos x oluşunu kullanarak \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\cos x=0 sonucunu verir.

1=\lim_{x\to+\infty}(\sin^2 x+\cos^2 x)=\lim_{x\to+\infty}\sin^2 x+\lim_{x\to+\infty}\cos^2 x=0^2+0^2=0

elde ettik. Çelişki

(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Çok güzel bir yorum. Zihninize sağlık

Ufak bir ekleme yapim izninizle. sin x in alt ve üstsınırından dolayı limiti sonsuz olamaz. Yani L=\pm\infty durumları zaten olamaz. 

Limitle ilgili teoremler  dışında hiç bir şey kullanmadan çözmek istedim.

Zaten bu da limit ile ilgili bir teoremdir. Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti fonksiyonun o noktanın bir (delik) komşuluğundaki alt sınırından küçük üst sınırından büyük olamaz. 

Elbette ki haklısınız.

\lim_{x\to-\infty}Sinx =?, \lim_{x\to-\infty}Cosx =?
1 beğenilme 0 beğenilmeme

Çözümde kullandığım önerme, tamamen geometrik olarak, şöyle ispatlanabilir (elbette analitik olarak da gösterilebilir)

Sonsuzda limit tanımından görülebileceği gibi (L sonlu iken):

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x) olması y=f(x) eğrisinin y=L (yatay) doğrusuna ( sağa giderken) asimptotik olmasına eşdeğerdir.

y=f(x+a) eğrisi ise y=f(x) eğrisinin, \vert a\vert kadar sağa veya sola (yatay olarak) kaydırılmış şeklidir. Bu nedenle ( sağa giderken) (yatay bir doğruya) asimptotik olma özelliği değişmeyecektir.

L=+\infty veya L=-\infty durumu da benzer  şekilde (asimptot olmak yerine yatay doğruların üstünde veya altında kalmayı düşünerek) gösterilebilir.

(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Peki sorunun cevabı ne acaba?

\lim_{x\to+\infty}\sin x=L  olduğu varsayımı bir çelişkiye yol açıyor. Öyleyse limitin var olmadığını göstermiş olduk.

20,297 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,726,920 kullanıcı