Önce şunu (her fonksiyon ve her a∈R için) gösterebiliriz (L sonlu veya sonsuz farketmez):
limx→+∞f(x)=L ise limx→+∞f(x+a)=L olur.
limx→+∞sinx=L (L sonlu veya sonsuz) varsayıp, bunu a=π alarak kullanalım.
limx→+∞sinx=L ise limx→+∞sin(x+π)=L olur.
Ama sin(x+π)=−sinx olduğundan (ve limitin özelliklerinden)
L=−L elde edilir. Bu da L=0 olması demektir. (L=+∞ veya L=−∞ iken bu eşitliğin imkansız olduğunu göstermek gerekir veya aşağıdaki argümanı kullanabiliriz)
Şimdi de a=π2 alıp aynı sonucu kullanalım:
limx→+∞sin(x+π2)=0 olacaktır. Bu da, sin(x+π2)=cosx oluşunu kullanarak limx→+∞cosx=0 sonucunu verir.
1=limx→+∞(sin2x+cos2x)=limx→+∞sin2x+limx→+∞cos2x=02+02=0
elde ettik. Çelişki