$\lim_{x \to \infty} \sin x=?$

0 beğenilme 0 beğenilmeme
2,432 kez görüntülendi

$\lim_{x \to \infty} \sin x$ limiti hakkında ne söylersiniz?

8, Şubat, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Osman (26 puan) tarafından  soruldu
28, Nisan, 2015 Enis tarafından düzenlendi

2 Cevaplar

4 beğenilme 0 beğenilmeme

Önce şunu (her fonksiyon ve her $a\in\mathbb{R}$ için) gösterebiliriz  ($L$ sonlu veya sonsuz farketmez):

$$\lim_{x\to+\infty}f(x)=L\textrm{ ise }\lim_{x\to+\infty}f(x+a)=L \textrm{ olur.}$$

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sin x=L$ ($L$ sonlu veya sonsuz) varsayıp, bunu  $a=\pi$ alarak kullanalım.

$$\lim_{x\to+\infty}\sin x=L\textrm{ ise }\lim_{x\to+\infty}\sin(x+\pi)=L \textrm{ olur.}$$

Ama $\sin(x+\pi)=-\sin x$ olduğundan (ve limitin özelliklerinden) 

$L=-L$ elde edilir. Bu da $L=0$ olması demektir. ($L=+\infty$ veya $L=-\infty$ iken bu eşitliğin imkansız olduğunu göstermek gerekir veya aşağıdaki argümanı kullanabiliriz)

Şimdi de $a=\frac\pi2$ alıp aynı sonucu kullanalım:

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sin (x+\textstyle\frac\pi2)=0$ olacaktır. Bu da, $\sin(x+\frac\pi2)=\cos x$ oluşunu kullanarak $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\cos x=0$ sonucunu verir.

$$1=\lim_{x\to+\infty}(\sin^2 x+\cos^2 x)=\lim_{x\to+\infty}\sin^2 x+\lim_{x\to+\infty}\cos^2 x=0^2+0^2=0$$

elde ettik. Çelişki

8, Şubat, 2015 DoganDonmez (3,211 puan) tarafından  cevaplandı
9, Şubat, 2015 DoganDonmez tarafından düzenlendi

Çok güzel bir yorum. Zihninize sağlık

Ufak bir ekleme yapim izninizle. sin x in alt ve üstsınırından dolayı limiti sonsuz olamaz. Yani $L=\pm\infty$ durumları zaten olamaz. 

Limitle ilgili teoremler  dışında hiç bir şey kullanmadan çözmek istedim.

Zaten bu da limit ile ilgili bir teoremdir. Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti fonksiyonun o noktanın bir (delik) komşuluğundaki alt sınırından küçük üst sınırından büyük olamaz. 

Elbette ki haklısınız.

$\lim_{x\to-\infty}Sinx =?$, $\lim_{x\to-\infty}Cosx =?$
1 beğenilme 0 beğenilmeme

Çözümde kullandığım önerme, tamamen geometrik olarak, şöyle ispatlanabilir (elbette analitik olarak da gösterilebilir)

Sonsuzda limit tanımından görülebileceği gibi ($L$ sonlu iken):

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ olması $y=f(x)$ eğrisinin $y=L$ (yatay) doğrusuna ( sağa giderken) asimptotik olmasına eşdeğerdir.

$y=f(x+a)$ eğrisi ise $y=f(x)$ eğrisinin, $\vert a\vert$ kadar sağa veya sola (yatay olarak) kaydırılmış şeklidir. Bu nedenle ( sağa giderken) (yatay bir doğruya) asimptotik olma özelliği değişmeyecektir.

$L=+\infty$ veya $L=-\infty$ durumu da benzer  şekilde (asimptot olmak yerine yatay doğruların üstünde veya altında kalmayı düşünerek) gösterilebilir.

8, Şubat, 2015 DoganDonmez (3,211 puan) tarafından  cevaplandı
9, Şubat, 2015 DoganDonmez tarafından düzenlendi

Peki sorunun cevabı ne acaba?

$\lim_{x\to+\infty}\sin x=L$  olduğu varsayımı bir çelişkiye yol açıyor. Öyleyse limitin var olmadığını göstermiş olduk.

...