Question

$A=\{A\}$ olacak sekilde bir $A$ kumesi olabilir mi? Bu sarti saglayan bir $A$ kumesi ornegi verebilir miyiz? Bu tarz kumeler varsa eger hepsini bulabilir miyiz?

 ya da daha genel bir sekilde kendisinin elemani olan bir kume icin neler diyebiliriz?

Comments

Kendisini eleman olarak kabul eden kuvvet kümelerini alabiliriz. Yine de sorunuza cevap olmaz. 

---

Kendi kendisinin elemani olmayan kumelerin toplulugu daha da heyecanli degil mi?

Answer 1

Sorunuza bir cevap alabilmek için sağlanamanız gereken çok önemli bir bilgi var. Hangi kümeler kuramında böyle bir küme olabilir mi?

ZFC (ya da ZF) kümeler kuramındaki temellendirme beliti gereği, Şafak Özden'in belirttiği gibi, böyle bir küme olamaz. Ama mesela Aczel'in anti-temellendirme beliti vardır. "Non-wellfounded" kümeler kuramı yapmak isterseniz böyle bir küme olabilir. Tabii belirtmek lazım ki böyle kümeler kuramları, eğer kümeler kuramı çalışmıyorsanız, matematikçilerin ilgisini çok çeken şeyler değil. Kümeler kuramı deyince çoğunlukla ZFC anlaşılır. O yüzden sorunuzun cevabı hayır, böyle bir küme yoktur.

Answer 2

Böyle bir kümenin varlığı Zermelo-Fraenkel kümeler kuramı aksiyomlarınca engellenmiştir. Yani böyle bir küme olamaz.

İçine bakmadım ama burada kesin vardır: https://matematikkoyu.org/e-kutuphane/ders-notlari/skk.pdf

Answer 3

Yanılmıyorsam Russel paradoksu da bu sorudan yola çıkılarak ortaya çıkıyordu, bunu gidermek için  bir aksiyomatik sistem geliştirilmiş olması lazım.

Comments

Gödel'e bakılabilir, Ancak onda ki formel mantık dili oldukça ağır... ama yinede araştırmaya değer

Answer 4

MErhabalar, ben sorunuzun cevabını şöyle verim.

Öncelikle, $2^X$ ile $X$ in kuvvet kümesi $P(X)$ i göstereceğim. 

Cantor Teoremi: $X$ boş olmayan bir küme ve $f: X\rightarrow 2^X$ olsun. Bu durumda $f$ örten değildir.

(Cantor Teoremi'nin sonucu: Her $X$ kümesinin kardinalitesi $2^X$'inkinden küçüktür)

Şimdi sizin sorunuza gelelim: ZF aksiyomları yeterli değil (bence, ama öyle tahmin ediyorum ki belki Axiom of replacement kullanılarak da ispat edilebilir). ZFC'yi kabul edelim (ZF+ Seçme aksiyomu). Varsayalım ki $A=\{A\}$ şeklinde bir küme var.

$g:2^A-\{\emptyset\}\rightarrow A$ seçme fonksiyonu olsun. Bu fonksiyon, varsayımımızdan dolayı $A$ yı $A$' ya götürür. (Tek elemanlı kümeden tek elemanlı kümeye fonksiyon) Dolayısıyla tersinirdir.

$f=g^{-1}: A\rightarrow 2^A$ fonksiyonu birer bir ve örtendir ki bu durum Cantor teoremi ile çelişir.

Comments

Son cumleyi anlayamadim. Orten olan $g^{-1} : A \to 2^{A} - \{0\} $ fonksiyonu degil mi? 

---

Haklısınız hata var cevapta 

Answer 5

Axiom of regularity (Sanırım Türkçesi Düzenlilik Aksiyomu): $x$ boş küme değilse $x$'de bir $y$ elemanı vardır, öyle ki $y\cap x=\emptyset$.

Bu aksiyomu $x=\{A\}$ ya uygularsak $y=A$ olması gerektiğini görüyoruz (Çünkü $x$ tek elemanlı). Bu da $A\cap\{A\}=\emptyset$ i veriyor.

(Kaynak: http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_regularity#Regularity_and_the_rest_of_ZF.28C.29_axioms)