iki pozitif reel sayının aritmetik ortalaması geometrik ortalamasından küçük olamaz. Buna göre $a$ ve $b$ pozitif reel sayıları için $\frac{a}{b}+ \frac{b}{a}$ toplamı en az kaçtır ?

Question

Tam mantığını anlamadım 

Comments

2 mi cevap :D

Answer 1

$$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}=2\cdot \frac{a^2+b^2}{2}\cdot \frac{1}{ab}\ldots (1)$$

$$ab=\sqrt{a^2b^2}\leq \frac{a^2+b^2}{2}\ldots (2)$$

$$(1),(2)\Rightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2\cdot ab\cdot \frac{1}{ab}=2$$ veya

$$\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}\leq \frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}}{2}\Rightarrow 2\leq \frac{a}{b}+\frac{b}{a}$$