Question

Hilbert kübü nedir?

Answer 1

Hilbert küpü $[0,1]$ topolojik uzayının kendisiyle sayılabilir çarpımı alınarak oluşturulan $[0,1]^{\mathbb{N}}$ topolojik uzayıdır. (Bazı kaynaklarda farklı tanımlanıyor olabilir. Öte yandan inşa edilen uzay buna homeomorfik olacaktır.)

Bu uzay ne işe yarar peki? Başkaları ne için kullanıyor bilmiyorum ama şahsen kullandığım iki özelliği şunlar oldu bugüne kadar.

Teorem: Her ikinci sayılabilir metriklenebilir topolojik uzay Hilbert küpünün içerisine gömülebilir.
Teorem: Bir topolojik uzay Leh uzayıdır ancak ve ancak Hilbert küpünün bir $G_{\delta}$ alt uzayına homeomorfik ise.

Comments

Kendisinin sabit nokta özelliği var ve daha da güzeli, Banach uzaylarının tıkız ve konveks altkümelesi lineer bir homeomorfizma altında Hilbert kübünün tıkız ve konveks bir altkümesine gönderilebiliyor. 

Answer 2

$$\mathbb{R}^{\infty}:=\left\{ \langle a_n\rangle \Big{|} \left(\langle a_n\rangle\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\right)\left(\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2<\infty\right)  \right\}$$ olmak üzere

$$d\left(\langle a_n\rangle ,\langle b_n\rangle\right):=\sqrt{\sum_{n=1}^{\infty} (a_n-b_n)^2}$$ kuralı ile verilen $$d:\mathbb{R}^{\infty}\times \mathbb{R}^{\infty}\to \mathbb{R}$$ fonksiyonu bir metriktir.

$$I=\left\{\langle a_n\rangle \Big{|} (\forall n\in\mathbb{N})\left(0\leq a_n\leq \frac1n\right) \right\}$$ kümesine Hilbert Küpü denir ve $$I$$ kümesi $$(\mathbb{R}^{\infty},d)$$ metrik uzayının kapalı ve sınırlı bir altkümesidir. Burak beyin de ifade ettiği gibi bu da Hilbert Küpü tanımının başka bir versiyonu.