Hilbert kübü nedir?

2 beğenilme 0 beğenilmeme
176 kez görüntülendi


26, Şubat, 2016 Akademik Matematik kategorisinde Safak Ozden (3,379 puan) tarafından  soruldu

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme

Hilbert küpü $[0,1]$ topolojik uzayının kendisiyle sayılabilir çarpımı alınarak oluşturulan $[0,1]^{\mathbb{N}}$ topolojik uzayıdır. (Bazı kaynaklarda farklı tanımlanıyor olabilir. Öte yandan inşa edilen uzay buna homeomorfik olacaktır.)

Bu uzay ne işe yarar peki? Başkaları ne için kullanıyor bilmiyorum ama şahsen kullandığım iki özelliği şunlar oldu bugüne kadar.

Teorem: Her ikinci sayılabilir metriklenebilir topolojik uzay Hilbert küpünün içerisine gömülebilir.
Teorem: Bir topolojik uzay Leh uzayıdır ancak ve ancak Hilbert küpünün bir $G_{\delta}$ alt uzayına homeomorfik ise.

26, Şubat, 2016 Burak (1,254 puan) tarafından  cevaplandı

Kendisinin sabit nokta özelliği var ve daha da güzeli, Banach uzaylarının tıkız ve konveks altkümelesi lineer bir homeomorfizma altında Hilbert kübünün tıkız ve konveks bir altkümesine gönderilebiliyor. 

1 beğenilme 0 beğenilmeme

$$\mathbb{R}^{\infty}:=\left\{ \langle a_n\rangle \Big{|} \left(\langle a_n\rangle\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\right)\left(\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2<\infty\right)  \right\}$$ olmak üzere

$$d\left(\langle a_n\rangle ,\langle b_n\rangle\right):=\sqrt{\sum_{n=1}^{\infty} (a_n-b_n)^2}$$ kuralı ile verilen $$d:\mathbb{R}^{\infty}\times \mathbb{R}^{\infty}\to \mathbb{R}$$ fonksiyonu bir metriktir.

$$I=\left\{\langle a_n\rangle \Big{|} (\forall n\in\mathbb{N})\left(0\leq a_n\leq \frac1n\right) \right\}$$ kümesine Hilbert Küpü denir ve $$I$$ kümesi $$(\mathbb{R}^{\infty},d)$$ metrik uzayının kapalı ve sınırlı bir altkümesidir. Burak beyin de ifade ettiği gibi bu da Hilbert Küpü tanımının başka bir versiyonu.

26, Şubat, 2016 murad.ozkoc (8,639 puan) tarafından  cevaplandı
29, Şubat, 2016 murad.ozkoc tarafından düzenlendi
...