Yoğun altuzay

4 beğenilme 0 beğenilmeme
116 kez görüntülendi

$V$ normlu bir uzay $V_0$ da onun bir altuzayı olsun. Diyelim ki öyle bir $c\in(0,1)$ reel sayısı var ki $V$'deki her $v$ elemanı için $$\inf_{w\in V_0}|w-v|\leq c|v|$$ eşitsizliği sağlanıyor. Bu durumda $V_0$ altuzayı $V$ içinde yoğundur. 


Bu iddia doğru mudur? Doğruysa nasıl ispatlarsınız, değilse karşı örnek verebilir misiniz?


Not: Bu soru akademik değil elbette ama lisans için de bana sanki biraz zor olabilir gibi geldi. Tabii ki sorunun bir yanıtı var, ben yalnızca ne olduğunu söylemek istemedim.

24, Şubat, 2016 Akademik Matematik kategorisinde Safak Ozden (3,246 puan) tarafından  soruldu
24, Şubat, 2016 Safak Ozden tarafından düzenlendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$v\in V$ olsun. $v\in \overline{V_0}$ olduğunu gösterirsek iş biter.

$$\inf_{w\in V_0} |w-v|\leq c|v|$$

$$\Rightarrow$$

$$(\forall \epsilon >0)(\exists w_0\in V_0)\inf_{w\in V_0} |w-v|\leq |w_0-v|<\inf_{w\in V_0}|w-v|+\frac{\epsilon}{2}$$

$$\Rightarrow$$

$$|w_0-v|<c|v|+\frac{\epsilon}{2}\ldots (1)$$

$$c:=\frac{\epsilon}{2|v|}\ldots (2)$$

$$(1),(2)\Rightarrow |w_0-v|<c|v|+\frac{\epsilon}{2}=\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$

$$\Rightarrow$$

$$w_0\in B(v,\epsilon)$$

$$\Rightarrow$$

$$B(v,\epsilon)\cap V_0\neq \emptyset$$

$$\Rightarrow$$

$$v\in \overline{V_0}.$$ 

Çok iyi ifade edemedim ama anlaşılıyor sanırım.


25, Şubat, 2016 murad.ozkoc (8,028 puan) tarafından  cevaplandı
Peki boyle bir $V_0$ altuzayi ornegi var midir gercekten?

Bu ...(2)'deki c tanımını nasıl yaptık, sabit değil mi o, her v için? Hem v'nin boyuna göre 1'i aşamaz mı değeri?

$c$ sabit. Şunu alalım diyemiyoruz. Sabit bir $c$ için doğru olduğunu biliyoruz. Aslında ispatlanması gereken sabit $c$ varsa istenilen ufaklıkta $c$ de vardır bir anlamda.

Özgür, yoğun her altuzay bu şartı sağlıyor.

Usta, yalnız yanıt yanlış. Yukarıda açıklamaya çalışmıştım.

...