Parabol sorusu

Question

f(x)=$x^2-mx+3+m$ fonksiyonu x eksenini farkli iki noktada kestigine göre,  m nin değerlerinin araliği nedir ?

Comments

ikinci dereceden bir polinomun ne zaman iki tane reel koku olur?

---

<p> kendi uydurdugum bir  soru degilki siz de bana soruyorsunuz testte öyle vermiş.<br>
</p>

---

soruyu kendin uydurdun demedim ki? soruyu farkli bir sekilde sordum sadece. ikinci dereceden bir polinomun ne zaman iki tane reel koku olacagini biliyor musunuz. $ax^2+bx+c$ polinomunun ne zaman iki reel koku olur?

---

Şey ben yanliş anlamisim ya cok pardon. eger delta sifirdan buyukse iki farkli reel kok vardi.

---

Delta sifirdan büyük ise galiba

---

Evet. Bu soru icin deltayi bulup >0 demen gerekir. Bunu yapabilir misin?

---

$m^2-4m>12a$ boyle buldum.

---

$a$ nerden geldi? $a=1$ bizim sorumuzda, degil mi?

---

ay pardon dogru ya..ozaman $m^2-4m>12$ böyle.

---

Şey nereye gittiniz ??

---

Simdi $m^2-4m-12=0$ denkleminin cozumunu bulmalisin. Bu iki cozum arasinda deger negatif, disinda pozitif olur.

---

$m^2-4m>12$ eger 12 yi karsiya atarsak $m^2-4m-12>0$ olmazmi neden buyuktur isareti yerine esittir 0 diyoruz anlamadim ama yinede sifira esitledim m yi 6 ve -2. buldum sonrasini yapamadim.

---

Aralik bulmak icin sifira esitledik. Daha onceden aralik bulma sorusu cozdun mu? ona gore devam edelim.

---

Cozdum ama zaman gecti bayagi niye kızıyorsunuz ki.. sifira esitledim 6 ve -2. buldum işte 

---

kizmak? kizmadim am sen bana kaba davraniyorsun su an. Amacim yardim etmek, bu nedenle soru soruyorum: daha onceden aralik bulma sorusu cozdun mu diye. Ben senin bilgi birikimini bilemem degil mi? Bu nedenle sordum, ortada kizma falan yok. Sadece sorunu adim adim cozmene yardim ediyorum.

---

istemedende olsa kendimi kaba ifade ettigim icin kusura bakmayin. Evet yardim ettiginiz ortada zaten direk cevabi yazip gecebilirdiniz boyle yapmadiginiz icin tesekkur ederim. ben yine yanlis anladim kizdiginizi falan sandim pardon

---

Parabol grafigini biliyor isen kollar yukari dogruyken iki kok arasinda kalan kisim negatif olur, diger kisimda degerler pozitif olur.

---

Peki tesekkurler anladim

Answer 1

Ikinci dereceden bir polinomun hangi sartlarda iki koku olur. Ilk olarak sormamis gereken soru bu.

$a>0$ (eger $a<0$ ise $-1$ ile carpariz) olmak uzere $ax^2+bx+c=0$  denklemini inceleyelim. Ilk olarak $a$ parantezine alalim. Bu durumda $$a(x^2+\frac bax+\frac ca)=0$$ olur ve $a \ne 0$ oldugundan $$x+\frac{b}{a}x+\frac ca=0$$ olmali.  Bu denklemi $$(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a^2}=0$$ olarak yazabiliriz. Yani $$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$$ olarak yazabiliriz.

Durum 1: Eger sag taraftaki $\Delta := b^2-4ac <0$ ise sag taraf negatif ve sol taraf kareden dolayi pozitif oldugundan boyle bir cozum olmaz.

Durum 2: Eger sag taraftaki $\Delta := b^2-4ac =0$ ise Bu durumda $$x+\frac{b}{2a}=0$$ olmali. Yani $x=-\frac{b}{2a}$ tek cozum olur.

Durum 3: Eger sag taraftaki $\Delta := b^2-4ac >0$ ise Bu durumda $$x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\Delta}{2a}$$ olur yani $$x=\frac{-b\pm \Delta}{2a}$$ olmak uzere iki deger alir.


Bizim istedigimizin gerceklesmesi icin "Durum 3"deki kosul saglanmali, yani $\Delta := b^2-4ac >0$ olmali.

Soruda verilen ikinci denklem icin $$a=1, \; b=-m \; \text{ve } c=3+m$$ oldugundan $$\Delta :=b^2-4ac=(-m)^2-4\cdot1\cdot(3+m)=m^2-4m-12=(m+2)(m-6)>0$$ olmali.


Simdi reel sayilardan $-2$ ve $6$ disindaki her sayi icin $m^2-4m-12$ denkleminin isaretini inceleyelim:

Durum a: Eger $m>6$ ise $$m+2 >0 \text{ ve } m-6>0$$ olur, dolayisiyla $$(m+2)(m-6)>0$$ olur.
Durum b: Eger $-2<m<6$ ise $$m+2 >0 \text{ ve } m-6<0$$ olur, dolayisiyla $$(m+2)(m-6)<0$$ olur.
Durum c: Eger $m<-2$ ise $$m+2 <0 \text{ ve } m-6<0$$ olur, dolayisiyla $$(m+2)(m-6)>0$$ olur.

Bizim istedigimiz sartlara "Durum a" ve "Durum c" uyuyor. Demek ki $m$ sayisi $$(-\infty,-2) \cup (6,\infty)$$ araliginda olmaliymis.