Katsayilari bir cisimden olan denklem sistemleri

Question

$k$ bir cisim olsun. $S = k[x_1, \ldots, x_n]$ halkasi, katsayilari $k$'dan olan $n$ degiskenli polinomlarin olusturdugu halka olsun. Her $f \in S$ polinomunu dogal bir sekilde $f: k^n \to k$ bir fonksiyonu olarak dusunebiliriz.

Elimizde birtakim polinomlar var. Bu polinomlarin ne zaman sifir oldugunu bulmak istiyoruz, denklem cozmek istiyoruz. Denklem sistemleri cozmek istiyoruz. Ornegin elimizdeki butun polinomlar homojen olarak birinci dereceden ise lineer cebir oluyor.

Denklem sistemleri $$f_1 = 0 \\ f_2 = 0 \\ \vdots\\ f_k = 0$$ seklinde sonlu sayida polinomun sifir oldugu degerleri buldugumuz sistemler.

Soru 1: Neden hep sonlu sayida denklemle ugrasiyoruz? Sonsuz sayida denklem olsa ne yapacagiz?

Bir sey yapmayacagiz. Cunku elimizde $f_1 = 0, f_2 = 0, \ldots  $ seklinde sonsuz denklemden olusan bir sistem varsa, oyle $g_1, g_2, \ldots g_m$ polinomlari bulabiliriz ki $g_1 = 0, g_2 = 0, \ldots, g_m = 0$ sonlu sisteminin cozum kumesi, baslangictaki sonsuz sisteminin cozum kumesi ile aynidir. Yani sonsuz her sistemi, bir sekilde sonlu bir sisteme donusturebiliyoruz. Peki neden? Sabahtan beri bu soruya  4-5 tane degisik oldugunu dusundugum cevap buldum. Ama sonra farkettim ki butun cevaplarim Hilbert Taban Teoremi'nden temel aliyor. Sanki daha basit bir cevap olmali gibi hissediyorum benim goremedigim.

Soru 2: Bu soruyu Hilbert Taban Teoremi'nden bagimsiz olarak cevaplayabilir miyiz?

Soru 3: Eger cevaplayamazsak Hilbert Taban Teoremi bu yuzden mi cok onemli?

--

Hilbert Taban Teoremi: Hilbert Basis Theorem.

Comments

Benim ek bir sorum olacak: Birinci soruda denklemlerin sayısı sonsuz olunca polinomların değişkenlerinin sayısı da birlikte sonsuza gitmiyor dimi? Zaten o zaman artık o polinom olmayıp biçimsel üssel seri oluveriyor ve senin Hilbert Taban teoremin geçerliliğini yitiriyor yoksa $k=\mathbb{R}$,$f_i:\mathbb{R}^\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R},(x_1,x_2,...)\mapsto -1+\sum_{m=i}^\infty x_m$ seçip (çözüm kümesi $\{(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},...)\}$ )hiçbir sonlu $f_n$ için ($n$ tek ise $\{(1,0,1,0,'...')\}$, çift ise $\{(0,1,0,1,'...')\}$)çözüm kümelerin aynı olmama durumu çıkabiliyor, haklı mıyım?

Notasyona dair: $\mathbb{R}^\mathbb{N}$=bütün gerçel sayı dizileri kümesi, $'...'$ $n$ belirlendikten sonra kesiliyor yani sonlu uzunlukta.

---

Evet evet, butun polinomlar ilk basta tanimladigim $S$ halkasindan. Kotu anlatmisim. Bir de degisken sayisi olan $n$ ile diger $n$'ler ayni degil, onu da duzelteyim.

---

Sen de indeksler konusunda gerçekten sıkı perhiz uyguluyormuşsun Özgür. Polinomların sayısı, değiken sayısına eşit olmasın diye $n$'den $k$'ye çevirmişsin, cisim için kullandığın harfe :)) 

---

---

---

Ama okunmuyor ne yazdığın yorumlarda.