Question

$22^{22}+23^{22}+25^{22}$ sayının birler basamağındaki rakam kaçtır ?

@yorum:mod 10 a göre yapmaya çalıştım.olmadı yani :D

Comments

Olmayan neresi. Örneğin $22^{22}\equiv x(mod10)$'u bulabilir misiniz? Nasıl bulduğunuzu bizde görelim.

---

2 olur hocam

---

Bu  $2$ nasıl bulduğunu öğrenebilir miyim?

---

1 dakka 2 değil.2^{22}

burdanda 4 hocam

---

$22\equiv 2(mod10)$ değil mi? Şimdi adım adım $2$ 'nin kuvvetinin $mod10$ da kaç verdiğini bulmalıyız. 

$$2=2(mod10)$$ , $$2^2=4(mod10)$$ ,  $$2^3=8(mod10)$$ ,  $$2^4=6(mod10)$$ ,  $$2^5=2(mod10)$$ dir. Görüldüğü gibi $2$'nin kuvveti $4$'e bölündüğünde verdiği kalana göre tekrarlıyor. Yani,

$$2=2^5=2^{9}=...=2(mod10)$$ , $$2^2=2^6=2^{10}=...4(mod10)$$ ,  $$2^3=2^7=2^{11}=8(mod10)$$ ,   $$2^4=2^8=2^{12}=...=6(mod10)$$  dir. 

$22\equiv2(mod4)$ olduğundan $$22^{22}\equiv 2^{22}\equiv4(mod10)$$ olacaktır. Diğerlerinide benzer yolla yapabilirsiniz. Ama daha kısa olarak Sayın @sercan hocan'nın çözümünü inceleyiniz.

---

bende böyle yaptım buldum hocam..çok sağolun uğraştığınız için...:]]

---

Önemli değil. Ama Euler toitent fonksiyonunu böyle durumlarda kullanabilmek için öğrenmelisin. @sercan beyin çözümünde linki var.

---

o teorem biraz karışık geldi :/

Answer 1

Euler toitent fonksiyonu da bence ortaogretimce bilinmeli. $\phi(10)=\phi(5)\phi(2)=(5-1)(2-1)=4$ oldugundan eger $a$ ile $10$ arasinda asal ise $a^\phi(n)$ yani $a^4$ sayisi $\mod 10$'da $1$'e denk gelir.

Bilesek de $2^n \to 2,4,3,1,\cdots$ ve $3^m \to 3,4,2,1,\cdots$ olarak $\mod10$'da kalani bulunabilir.


Demek ki sayimiz $2^{22}+3^{22}+5^{22}$ olarak indirgendikten sonra ${22}={4\cdot5}+2$ oldugundan $2^{22}$ ve $3^{33}$ sayilari $2^2$ ve $3^2$ sayilarina indirgenir.

Geriye $5^{22}$ kaldi. Bunu yukaridaki teoremden indirgeyemedik, cunku $5$ ile $10$ arasinda asal degil. Fakat $5^2\equiv 5 \mod 10$ oldugundan $5^{22}$ de $\mod 10$'da $5$'e den olur.

Artik $\mod 10$'da $2^2+3^2+5=18$'e indigemis olduk sayimizi. 

Comments

tabanları 10 a böldüm

$2^{22}+ 3^{22}+ 5^{22}$

ondan sonrada.1. den 4 geldi, 2.den9 ,3.den 5 geldi

toplamda 18in mod 10 da değeri 8.

tamamdır heralde sercan hocam .d

---

O.K.                       

---

pki .s