Question

$1^{99}+2^{99}+\cdots+99^{99}$ toplamının son iki basamağının toplamı kaçtır?

Comments

Sevgili iclal123, soruyu resim biciminde koymamalisin. http://matkafasi.com/faq linkindeki nasil sorular sorabilirim basligini okursan ileride yardimci olabilir.

---

1. ve 99.; 2. ve 98.; 3. ve 97.; ...; 49. ve 51. sayıları topla. Yanıt: 0.

Answer 1

Ben de yine $\pmod{100}$'de değerlendirebileceğimiz ama farklı bir bakış açısıyla bir cevap vereyim;

Bildiğimiz üzere tek $n$ doğal sayıları için $a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b^1+\cdots-b^{n-2}a^1+b^{n-1})$ şeklinde açılabilir. Aynı prensip baştan sona $(1,99),(2,98),(3,97),\cdots$ şeklindeki $a,b$ ikilileri için sağlanır. Dolayısıyla $$\\1^{99}+99^{99}=100A\\ \\2^{99}+98^{99}=100B\\  \\ \cdot\\  \\ \cdot\\  \\ \cdot\\  \\51^{99}+49^{99}=100C\\$$ Yani bu sayıya biz $S$ dersek $S\equiv 0 \pmod{100}$ olur, bu da demektir ki $S$'nin son iki basamağı $0$ olmalı, dolayısıyla toplamları da $0$.

Answer 2

tabanların mod 100 deki (son iki basamağındaki rakamlar ) karşılıklarını bakarsak 99=-1, 98=-2, 97=-3... 51=-49 bu sayıların simetrikleri de dizide  olduğu ve hepsinin üssü aynı ve tek sayı olduğu için cevap 0