$1.3.5.7.....99=3^x.A$ eşitliğinde $x$ ve $A$ pozitif tam sayılar olduğuna göre , $x$ in alabileceği $en büyük$ değeri kaçtır ?

Question

Şöyle düşündüm ifadeyi 99! olarak yazdım ve 99! içindeki 2 , 4 , 6 , 8 çarpanından kaç tane olduğunu ve bu çift sayların 99! böldüğümde bir şeyler elde edeceğimi düşündüm ama bence çok uzattım farklı kısa bir yolu varmıdır

Comments

$3$ ün tek katları çarpılıyor; $(3.1)(3.3).(3.5)...(3.33)$. Buradan bir şeyler düşünebilir miyiz?

---

hocam aradaki sayılar peki ? 

---

3 un kati olan tek sayilari kullaniyoruz. Diger carpanlarda 3 carpani yok.

Answer 1

Bu sayilarin icerisinde $3$ carpani icerenler $6k+3$ cinsinden olur. 

$3$'e tam bolunen ($6$ ardil)  $$\frac{99-3}{6}+1=17$$ sayi. $9$'a tam bolunen ($18$ ardil) $$\frac{99-9}{18}+1=6$$ sayi ve $27$'ye tam bolunen ($54$ ardil)  $$\frac{81-27}{54}+1=2$$ ve $81$'e bolunen ($162$ ardil) $$\frac{81-81}{162}+1=1$$  sayi var.

Simdi bunu formulize edersek (bu sorudaki gibi) toplamimiz, yani $$1\cdot 3\cdots (2n+1)$$ icersindeki $3$ carpani sayisi  $$k+\sum\limits_{m =1}^k \bigg\lfloor \frac {2n+1-3^m}{2\cdot3^m} \bigg\rfloor=k+\sum\limits_{m =1}^k \bigg\lfloor \frac {2n+1}{2\cdot3^m}-\frac12 \bigg\rfloor$$ olur (burada $k$ dedigimiz $3^k \le 2n+1 <3^{k+1}$ sartini saglayan ilk tam sayi).

$p\ne2$ asal sayisi icin $$1\cdot 3\cdots (2n+1)$$ icersindeki $p$ carpani sayisi  $$k+\sum\limits_{m =1}^k \bigg\lfloor \frac {2n+1-p^m}{2\cdot p^m} \bigg\rfloor=k+\sum\limits_{m =1}^k \bigg\lfloor \frac {2n+1}{2\cdot p^m}-\frac12 \bigg\rfloor$$ olur (burada $k$ dedigimiz $p^k \le 2n+1 <p^{k+1}$ sartini saglayan ilk tam sayi).

$l$ baska bir asal sayi olsun. ($p\ne l$).  $$1\cdot(1+l)\cdots (1+n\cdot l)$$ carpimi icerisndeki $p$ carpani sayisi $$k+\sum\limits_{m =1}^k \bigg\lfloor \frac {l\cdot n+1-p^m}{l\cdot p^m} \bigg\rfloor=k+\sum\limits_{m =1}^k \bigg\lfloor \frac {l\cdot n+1}{l\cdot p^m}-\frac1l \bigg\rfloor$$ olur (burada $k$ dedigimiz $p^k \le l\cdot n+1 <p^{k+1}$ sartini saglayan ilk tam sayi).

$l$ asal degil de $p$ ile aralarinda asal olsa bile yukaridaki esitlik yine saglanir:  $$1\cdot(1+l)\cdots (1+n\cdot l)$$ carpimi icerisndeki $p$ carpani sayisi $$k+\sum\limits_{m =1}^k \bigg\lfloor \frac {l\cdot n+1-p^m}{l\cdot p^m} \bigg\rfloor=k+\sum\limits_{m =1}^k \bigg\lfloor \frac {l\cdot n+1}{l\cdot p^m}-\frac1l \bigg\rfloor$$ olur (burada $k$ dedigimiz $p^k \le l\cdot n+1 <p^{k+1}$ sartini saglayan ilk tam sayi).

Comments

Hocam bir de sizin şu sorunuzun ispatı nasıl olacak ?

http://matkafasi.com/96871/%24n-p-mk%24-ise-%24m%24-en-cok-kac-olabilir-ikinci-esitlik 

---

ilkinden yararlanarak ispatlayabiliriz. 

Answer 2

İfadeyi

$1.2.3.....99.100 / 2.4.6....100 = 100!/2k.50!$ olacaktır. Buna göre. $100!$ ifadesinin içinde $33+11+3+1 = 48$ tane 3 çarpanı ve $50!$ sayısının içinde $16+5+1 = 22$ tane 3 çarpanı vardır. Buna göre $x$ en fazla $48-22 = 26$ olabilir.

Comments

Aslında buradaki olayı pek anlayamadım benim düşündüğüm gibi biraz benziyor ama

---

Hepsinden ciftlerin icindeki 3 carpani sayisini cikartmis.