Surekli fonksiyonlarin ters goruntusu

0 beğenilme 0 beğenilmeme
48 kez görüntülendi

$f: A \rightarrow B$'ye surekli bir fonksiyon varsa ve $U \subset B$ acik ise $f^{-1}(U)$ kumesi $A$'nin acik bir altkumesi midir?

Bu tarz bir sorudan hangi sartlar altinda bahsedebiliriz?

29, Mart, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Sercan (22,394 puan) tarafından  soruldu

Burada ne demek istiyorsun?


"Bu tarz bir sorudan hangi sartlar altinda bahsedebiliriz"

sureklilik, acik kume..

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

$A$ ve $B$ üzerinde birer topoloji olmalı ki "açık" sözcüğü anlamlı olsun.

$f$ sürekli sözcüğünün anlamlı olması için de $A$ ve $B$ üzerinde bir topoloji (veya bir topoloji tanımlamak için yeterli olan metrik vs. gibi bir şey) olması gerekli.

Bu ikisi yeterlidir. Çünki  belirtilen koşul tam olarak topolojik uzaylar arasındaki fonksiyonlar için  (HER YERDE) süreklilik tanımıdır. Metrik uzay gibi durumlarda da,  $\varepsilon-\delta$ ile yapılan süreklilik tanımının (her noktada sürekli olmanın) buna eşdeğer olduğu,  her topoloji veya analiz dersinin standart konusudur. Örneğin ($\mathbb{R}$ için):

https://matematikkoyu.org/e-kutuphane/ders-notlari/analiz_4.pdf (sayfa 17 Teorem 0.11)

29, Mart, 2015 DoganDonmez (3,211 puan) tarafından  cevaplandı
30, Mart, 2015 Sercan tarafından seçilmiş
...