Bir fonksiyonun birebirliği

Question

$S^1$, mutlak değeri $1$ olan kompleks sayıların çarpımsal grubunu göstersin ve $\chi$$\in Hom(\mathbb {Z},S^1)$ olsun.

                                                 $\mathscr{G}$=$\prod_{\chi}$ $S^1$

olmak üzere 

$n\mapsto$$(\chi(n))$ ile verilen $j:\mathbb{Z}\rightarrow\mathscr{G}$ homorfizminin birebir olduğunu nasıl gösterebilirim?

Çekirdeğin $0$ dan ibaret olduğunu göstermem gerekir: $(\chi(n))=1$ ise her $\chi$$\in Hom(\mathbb {Z},S^1)$ için $\chi(n)=1$ olur. Buradan sonra  $\chi(n)=\chi(1)^n=1$ yazabilir miyim? ve nasıl devam edebilirim?

Comments

her $n$ sayisi icin bir adet trival olmayan homomorfizma oldugunu gostermek yeterlidir.

Answer 1

$n\neq 0$ tamsayısı için o $\chi_n(n)\neq 1$ olan bir karakter bulabilirsen (ki bulabilirsin) ispatlamış olursun. Çünkü bu $\chi_n$'in varlığı $n$'in çekirdekten olamayacağını gösterir.

düzeltme: $n\neq 1$ demiştim ama tabii ki $n\neq 0$ olması gerekiyordu.

Comments

Hocam, aşağıdaki lemma sizin söylediğiniz gibi bir karakter bulabileceğimizi ifade ediyor. Peki $n=1$ ise hangi karakter alınır?

Lemma: $q$ pozitif bir tamsayı olsun. Bu durumda $\phi(q)$ tane Dirichlet karakter  (mod$q$) vardır. Ayrıca $a$, $(a,q)=1$ ve $a\equiv1(mod q)$ olacak şekilde bir tamsayıysa $\chi(a)\neq1$ olacak şekilde bir $\chi$ karakteri vardır.

---

Böyle şeyler için teoremlere gerek yok. $1\longmapsto e^{\frac{2\pi i}{2n}}$ istediğin fonksiyonu verecektir. $1$ için de aynısını yapabilirsin aslında.