Sürekli bir fonksiyonun işaret değiştirmesi

4 beğenilme 0 beğenilmeme
159 kez görüntülendi

$[0,1]$ kümesi üzerinde tanımlı sürekli bir fonksiyonun işaret değiştirdiği noktalar ne kadar çok olabilir?

21, Mart, 2016 Akademik Matematik kategorisinde Safak Ozden (3,357 puan) tarafından  soruldu

Sonlu-sonsuz olarak mi? Sayilabilirlik cinsi de onemli mi?

Ek: Her $n\geq 1$ icin $\sin((n+1)\pi x)$ fonksiyonunun $n$ adet isaret degistirme noktasi olur.

Mesela sayılamaz olabilir mi? Sonsuz olabilir mi?

$$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 0 & , & x=0 \\ x\sin\left(\frac{\pi}x\right) & , & x\in(0,1]\end{array}\right.$$ kuralı ile verilen $$f:[0,1]\to\mathbb{R}$$ fonksiyonu süreklidir. Bu fonksiyonunun işaret değiştirdiği noktaların sayısı sonlu değildir.

Geriye sayilamaz olabilir mi kaldi. Bir tugla daha...

Ve geldik zurnanın zırt dediği yere. Peki sayılamaz olabilir mi? Olursa, türevlenebilir bir fonksiyon için aynı sorunun yanıtı ne olur?

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Böyle bir fonksiyon sayılamaz çoklukta noktada işaret değiştiremez çünkü sıfırdan büyük sayıların toplamının sonlu olması bu sayıların miktarının sayılabilir olmasını gerektirir. Peki $[0,1]$ yerine $\mathbb{R}$ alsaydık ne olurdu? İşte bu soru daha zor, Burak'ın çözebileceği tarzda bir soru.

21, Mart, 2016 Safak Ozden (3,357 puan) tarafından  cevaplandı
"@Burak" yapinca ona notifikasyon gitse keske. 
<p>
    merhabaaq 4+5 kaç edeeeeeerrrrrr??? ben manyaaaq
</p>
<p> merhabaaq 4+5 kaç edeeeeeerrrrrr??? ben manyaaaq<br>
</p>

$[0,1]$ de olamazsa, $\mathbb{R}$ de  olamaz; çünki $\mathbb{R}=\bigcup_{n\in\mathbb{Z}}[n,n+1]$

("İşaret değiştirme" tanımı tam olarak ne?)

Çünkü en azından bir tanesinin içine sayılamaz çoklukta düşmesi gerek.

Tanımı tam olarak vermek istemiyorum hocam. Sıfır olduğu yerin sağında sıfırdan farklı olarak önce pozitif değer alıyorsa ve solunda sıfırdan farklı olarak önce negatif değer alıyorsa, sıfır olduğu o aralığa bir işaret değiştirme noktası diyebiliriz mesela. (Ve tabii bunun tersi durum için de.)

Ben de öyle tahmin ettim. Bu tanımla en çok sayılabilir çoklukta böyle nokta olacağı daha kolay $R$ nin ikinci sayılabilirliğinden elde edilmez mi?

Ben açıkçası buradan nasıl ispatlayabiliriz göremedim. 

$a, \ f$ nin işaret değiştirdiği bir nokta olsun.

$r<a<s,\ r,s\in\mathbb{Q},\quad f, (r,a)$ ve $(a,s)$ aralıklarında zıt işaretli (birinde pozitif, diğerinde negatif) olsun.

$a\mapsto (r,s)$ 1-1 dir. Çünki bu aralıkta $f$ nin tek kökü: $a$

Ama $(r,s)$ aralıklarından sayılabilir çoklukta var.

$f$ sürekli olmasa bile bu iddia doğru oluyor.

...