Basit eşitsizlik - 2 ayrı eşitsizlik verildiyse

Question

$x^2 - 4 $ <0

$x^2 - 4x +3$ <0

gibi iki ayrı eşitsizlik ama aynı bilinmeyen verildiyse yapmamız gereken şunlar mı? neden?

$x^2 - 4 $ <0 eşitsizliğini (x-2)(x+2)<0 şeklinde yazıp buradan da  -2<x<2 aralığını, 

$x^2 - 4x +3$ <0 eşitsizliğinden de 1<x<3 aralığını buldum. Normalde ayrı ayrı tablo yapardım ama doğru şıktaki değerlere ulaşabilmek için gidip, 1<x<2 dedim ve tabloya gerek kalmadan (1,2) aralığına ulaşmış oldum. 

Fakat mantığı nedir? ikisinde de sağlanan değerleri almak mı?

Aslında asıl soru şu olmalıydı, yaptığım doğru mu? (sonuç doğru fakat bu soru daha önemli)

teşekkürler.

Comments

Normalde tablo yapılıp birbirinden ağımsız şekilde aralıklar bulunduktan sonra aralıkların kesişim kümesi alınır evet.

---

hocam cahilliğime verin ama sormadan yapamayacam 

yani ikisi de uygun mudur? yoksa tablo ile yapmak mı? yani bu şekilde de (tablosuz) kesişimini almış olduk gibi?

Bir de birinde eşitlik olsaydı mesela ikinci denklemde eşitlik olsaydı. 1 ve 3 dahil olsaydı bu kez de x 1 ve 2 aralığında ama 1 dahil mi olacaktı?

teşekkürler.

---

Aynen öyle. $[1,2)$ aralığını elde ederdik. Aslında ikisi de sağlar. Sonuç olarak bir şeyi yapmanın çoğu zaman birden fazla yolu var.

---

peki hocam bir soru daha şimdi $\frac{x.(1-x)^2}{x-4}$<(küçükeşit)0 gibi bir ifade de 1-x ten işaret almıyoruz değil mi ?

yani ilk x ten kök 0 ve işaret +

$(1-x)^2$ den kök 1 fakat - işareti alınır mı?

teşekkürler.

---

Üs çift olduğu için işaret alınmaz. Eğer küçük eşit derse kök alırsın işaret almazsın. Sadece küçük derse işaret de kök de almazsın.

---

hocam çift üslerde sadece küçük derse kök ü bile almamamızın mantığı nedir?

Bu arada bunu söylemeden geçemiyeceğim, bu bilgiyi vermeniz çok iyi oldu,  o kadar test çözdüm ama bu durumla karşılaşmadım veya fark etmedim. İyi ki ekstra bilgi veriyorsunuz.

---

Çünkü kök olduğu için denklemi $0$'a eşitler, ki o da sadece küçük dendiği için eşitsizliği bozar.

---

hocam şimdi uzatmak istemiyorum ama şurayı anlayamadım. Şimdi son örnekte küçük eşit değil de küçük olsa ve biz $(x-1)^2$ deki 1 kökünü alsak ama bu kökü aynen paydanın 0 olamadığı durumlarda yaptığımız gibi açık aralık olarak alsak olmuyor mu?

mesela aynı örnekte payda da x-4 var ve buradan 4 kökünü alıyoruz fakat açık aralık olarak değil mi?

peki bu üstü çift olanda da aynı durum yok mu?

teşekkürler.

---

Şöyle düşün. $(x-1)^2$ bu ifadeyi $0$'a eşitler mi? Evet. Peki bana sıfıra eşit demiş mi? Hayır sadece küçük demiş. O halde $0<0$ eşitsizliğini kabul etmiş olmamız gerekir ki $x=1$'i de alalım.

---

Sonuç olarak, paydayı $0$ yapan değer açık aralık alınır, derecesi tekse işaret değiştirir, çiftse etki etmez. Payı $0$ yapan değer derecesi tekse işaret değiştirir, çiftse etki etmez; eğer küçük eşit veya büyük eşit yazılmışsa kapalı aralık, küçük veya büyük derse açık aralık alınır.

---

<p> peki hocam bu ifadeyi 0 eşit değil diye düşünmeye devam edersek, bu ifadenin önündeki x te ifadeyi 0 eşitler ve biz onun kökünü 0 olarak alıyoruz? 
</p>
 
<p>
     yani şunu anlayamadım hocam üssü çift olan ifade,  eşitlik yok ise  kök bile veremiyor neden çünkü ifade hiçbir zaman 0 a eşit olamayacak değil mi ? ama aynı ifade de diğer x in üssü olmadığı için (çift bir üsse sahip olmadığı için) onun 0 olan kökünü alabiliyoruz ?
</p>
 
<p>
     eminim ki size göre çok basittir belki genele göre, ama ben bu kısmı anlayamadım ve yardımcı olursanız sevinirim. teşekkürler.
</p>

---

(yanlışlıkla cevaba yazmışım :) )

---

Yoruma dönüştürme seçeneği vardı sanırım :)

---

hocam o zaman ben bu konuda biraz daha bilgi toplayıp iyice anlamaya çalışayım. demek ki hala bu konu da bazı eksiklerim var. teşekkürler.

---

Aslında anlamaman çok tuhaf değil. Benim de sıkıntı yaşadığım konulardan biri aslında :) Aslında sen şu anda derecesi tek-çift meselesine takıldın. Ama tek veya çift olması pek bir şey değiştirmiyor çünkü ikisinin de $0$'layacak bir kökü vardır. Ama asıl bakmamız gereken eşitsizlikte ne verdiği, eşitlik de verilmiş mi yoksa sadece büyük veya küçük mü istiyor? Sana tavsiyem şu sıralar tabloları yaparak başla. Paydaların ve payın köklerini tabloya yerleştir. Önce işaretleri bul ve aralıkları bul(Açık kapalıya bakma sadece aralıkları bul). Sonra payın köklerine bak. Eğer küçük veya büyük diyorsa her zaman açık aralıktır. Eğer küçük eşit veya büyük eşit diyorsa payın kökleri aralığa dahildir. Yani kapalı aralıktır.