$2014^{2015}$ sayisinin $121$ ile bolumunden kalan kactir?

Question

$2014^{2015} \equiv x (mod 121)$ olduguna gore $x$ kactir?

Comments

Bölünecek sayıyı anlayamadım. Biraz açıklar mısınız.

---

Soru $2014^{2015} \equiv x \mod 121$ olmalı.

---

Telefonda aceleyle yazarken fark edemedim kusura bakmayin. Simdi duzelmis olmali :)

---

Cozumu ogrenebildiniz mi?

---

Hayir henuz degil maalesef. Aslinda biz arkadasimla bir yere kadar getirmistik ama yine de ugrasilmaz bir sayi cikti.

---

O ugrasilmaz sayiyla ugrasip, sanirim bi yarim saat boyunca birkac islem hatasiyla, dogru cevabi buldum. Aksam bilgisayardan yazarim su an telefondayim.

Answer 1

Öncelikle $2014^{2015} \equiv 78^{2015} \equiv x \ (mod\ 121)$ olduğunu bulalım. Ardından $78$ ve $121$ aralarında asal olduğundan Euler teoreminden $78^{11^2-11} \equiv 1 \ (mod\ 121)$ olacağından $2014^{2015} \equiv 78^{35} \equiv x \ (mod\ 121)$ buluruz. $78^{35}=3^{35}.2^{35}.13^{35}$ ve $3^{5} \equiv 1\ (mod\ 121)$ olduğundan $2014^{2015} \equiv 26^{35} \equiv x \ (mod\ 121)$ olmalıdır. Buraya kadar sadeleştirdikten sonra:

$2^7 \equiv 7\ (mod\ 121) \rightarrow 2^{35}.13^{35}\equiv7^5.13^{35}$

$13^4\equiv5\ (mod\ 121) \rightarrow 13^8\equiv25\ (mod\ 121) \rightarrow 13^{16}\equiv20\ (mod\ 121)$

$\rightarrow13^{32}\equiv-20\ (mod\ 121)$

$7^5\equiv-12\ (mod\ 121)$

$26^{35} \equiv (-20)(-12)13^3 \equiv x \ (mod\ 121)$

$2014^{2015} \equiv 34 \ (mod\ 121)$