Logaritmalı üçgende açıların kosinüsleri

Question

(log a, log b, log c) ve 

(log a - log 2b, log 2b - log 3c, log 3c - log a) 

üçlülerinin her birinin elemanları bir aritmetik dizi oluşturmaktadır. 

Bir ABC  üçgeninin kenarlarının uzunlukları bu a,b,c  sayıları olduğuna göre 

cos A, cos B, cos C değerlerini bulunuz.

Comments

Aritmetik dizi özelliğinden $b^2=ac$  ve 2b=3c bulunur.

Answer 1

Aritmetik dizi özelliğinden: $2logb=loga+loc\Rightarrow b^2=ac........(1)$ olsun.

Yine   $2(log2b-log3c)=loga-log2b+lob3c-loga\Rightarrow$  

$2log2b-2log3c=log3c-log2b\Rightarrow 2b=3c...(2)$ olur.  

$(1) ve (2)$ den $b=\frac{3c}{2},\quad a=\frac{9c}{4}$ olacaktır. 

Diğer taraftan bir ABC üçgenin de kosinüs teoreminden, $a^2=b^2+c^2-2bccosA\Rightarrow  cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{\frac{9c^2}{4}+c^2-\frac{81c^2}{16}}{3c^2}=\frac{-29}{48}$ olur.

Benzer yolla,   $cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{\frac{81c^2}{16}+c^2-\frac{9c^2}{4}}{2.\frac{9c}{4}c}=\frac{61}{72}$  ve 

$cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{\frac{81c^2}{16}+\frac{9c^2}{4}-c^2}{2.\frac{9c}{4}.\frac{3c}{2}}=\frac{101}{108}$ olarak bulunur.

Comments

İkinci satır çok uzun, ikiye bölerseniz iyi olur.