İki negatif sayının çarpımı neden pozitif?

Question

Pozitif sayıların çarpımının pozitif olması çok doğal. Negatif bir sayıyla pozitif bir sayının çarpımının negatif olması da oldukça makul, $3$ kişiye $2$ lira borcun varsa toplam borcun $6$ liradır yani $3.(-2)=-6$. Fakat negatif iki sayının çarpımı neden pozitif? Cebirsel açıklamalar getirilebilir, mesela toplamanın çarpma üzerine dağılma özelliği hep doğru olsun istiyoruz ondan diyebiliriz ama daha sezgisel bir açıklama ne olabilir?

Comments

"düşmanımin düşmanı dostumdur" desek mesela..gayet sezgisel bi cevap oldu..

---

"Düşmanımın düşmanı dostumdur." doğruluğu tartışılır bence. Düşmanımın düşmanı neden dostum olsun ki?

---

Matematik dışında dogrulugu goreceli bir tabir olmasının yanında ortaöğretim düzeyinde negatif sayıların carpiminin pozitif yapmasını akılda daha kolay tutma ihtiyacı için üretilmiş bir cümle olduğunu düşünüyorum..bu nedenle gayet sezgisel..

Answer 1

Bu konuda https://matematikkoyu.org/e-kutuphane/makaleler/50_53_cokbasit.pdf adresindeki yazıyı okuyabilirsiniz.

Comments

Hocam peki $-2$ x $-3$ için bir örnek var mı?

Answer 2

Pozitif-negatif yerine toplamaya göre tersi düşünülürse daha basit açıklanabilir.

Önce:

$((-2)\times3)+6=((-2)\times3)+(2\times3)=(-2+2)\times3=0\times3=0$

olduğu için $(-2)\times3=-6$ olur. Şimdi de:

\begin{eqnarray*}((-2)\times(-3))+(-6) & = & ((-2)\times(-3)+((-2)\times3)\\

& =& (-2)\times((-3)+3)=(-2)\times0=0\end{eqnarray*}

olduğu için $(-2)\times(-3)=6$ elde edilir. Bütün bu yapılanlar sadece tamsayılarda değil, tüm halkalarda geçerlidir. 2 ve 3 yerine halkanın herhangi iki $a,b$ elemanı için de $(-a)\times(-b)=ab$ doğru olur.

Comments

Hocam dediğinizi hiç anlamadım ya. :S Kafam bulandı. :D

---

kanıt çok zarif olmuş teşekkürler

Answer 3

Madem örnek borçtan verildi 2 liralık borcumu 3 kişiye ayrı ayrı ödemeligimde cebimde 6 lira kalır. $ (-2)×(-3)=(+6) $

Comments

Bu ilkine göre daha kesin bir örnek gibi

Answer 4

Meseleye karmaşık sayıların özeliklerini kullanarak da yaklaşabiliriz. Örneğin, $a,b \in \mathbb{R}^{+} $ ve $x=-a$ , $y=-a$ şeklinde tanımlayıp $x$ ve $y$ yi kutupsal formda yazıp çarpma yapalım. 

$x=a.(Cos\pi+i.Sin\pi)$

$y=b.(Cos\pi+i.Sin\pi)$

$xy=ab.(Cos2\pi+i.Sin2\pi)$

$xy=ab.(1+i.0)$

$xy=ab$ elde edilir. Yani $(-a).(-b)=a.b$ dir.

Comments

gerçekten de çok açıklayıcı bir cevap olmuş.

Answer 5

öncelikle tamsayıların birleşme özelliği vardır. (-2)(-3) gibi bir sayıyı -(2(-3)) şeklinde yazabiliriz. eksi demek bir sayının negatifini almak olduğundan eksi*eksi pozitif olur.