Her x gerçel sayısı için, a+b=?

Question

$2x^{2}-5x+1=\left( x^{2}-4\right) \left( mx^{2}+nx+k\right) +ax+b$ ise  a+b=?

Çözmek için x e Nasıl değer verilmeli ? 2 verince sıfırlanıyor sağ taraftaki çarpanlar  .öher Zaman bu yöntem mi geçerli?

Comments

cevap olarak yazdim.

---

$ax+b$, $2x^2-x+1$ in $x^2-4$ e bolumunden kalandir.

---

Evet, bu cok daha guzel!

Answer 1

Soldaki polinom $$2x^2 - 5x + 1,$$  sagdaki polinom ise $$mx^4 + nx^3 + (k - 4m) x^2 +(a - 4n) x - 4k + b$$ Bu polinomlarin butun reel sayilar icin ayni degeri aliyor olmasi demek, ya da bu iki polinomun esit olmasi demek, butun katsayilarin ayni olmasi demek.

$x^4$ un katsayilarina bakarak $m = 0$ oldugunu goruyoruz. $x^3$'un katsayilarina bakarak $n = 0$ oldugunu goruyoruz. Ayni sekilde $x^2$'nin katsayilarina bakarak $k - 4m = 2$ oldugunu goruyoruz. Yani $k= 2$. $x$'in katsayilari bize $a - 4n = 5$ oldugunu soyluyor. Yani, $a = 5$'mis. $1$'in katsayisina (ya da sabit terime) baktigimizda da $b - 4k = 1$ oldugunu goruyoruz. O halde $b = 4k + 1 = 9$.

Genel olarak elinde iki tane polinom $p(x) = a_0 + a_1 x+ \ldots + a_n x^n$ ve $q(x) = b_0 + b_1 x+ \ldots + b_m x^m$ varsa ve $p = q$ esitligi (ya da her $x \in \mathbb{R}$ icin $p(x) = q(x)$ esitligi) saglaniyorsa her $i$ icin $a_i = b_i$ olmali (burada eger $n > m$ ise $b_m$'den sonra gelen katsayilari sifir kabul ediyoruz). Bu $p = q$ olmasinin tanimi. Ama bu tanimin neden boyle yapilmasi gerektigini de gorebiliriz: $p(x) = q(x)$ ise $p(x) - q(x) = 0$ demektir. $p(x) - q(x)$ de bir polinom ve derecesi $\max{m,n}$. Ama biliyoruz ki eger bir polinomun derecesi $k > 0$ ise, en fazla $k$ tane koku olabilir (daha fazla olsaydi, carpanlara ayirdigimizda cok fazla carpan olurdu). Fakat $p - q$ polinomu her $x$ icin sifir oluyor. Demek ki, $p - q$ polinomunun derecesi sifirdan buyuk olamaz. $p - q$ sabit polinom olmaliymis. Her $x$ icin sifir degerini verdigine gore de sabit sifir polinomu olmali. Yani butun katsayilar sifir olmali. Bu da $a_i - b_i = 0$ demek her $i$ icin. Yani $a_i = b_i$ olmali.