Her $\alpha$ cebirsel sayısı için, öyle bir $k$ tamsayısı vardır ki, $k\alpha$ bir cebirsel tamsayı olur.

Question

Bir $\alpha$ sayısı,

katsayıları rasyonel sayı olan sıfırdan farklı bir polinomun köküyse cebirsel sayı (algebraic number)

monik (başkatsayısı 1) ve katsayıları tamsayı olan sıfırdan farklı bir polinomun köküyse cebirsel tamsayı (algebraic integer)

ismini alır.

Tanımdan gözüktüğü üzere her cebirsel tamsayı bir cebirsel sayı olmak zorunda ama açık ki bunun tersi doğru değil. Ama diğer yandan her cebirsel sayı, bir cebirsel tamsayı olmaya yakın.

Peki, nasıl?

Answer 1

$\alpha$ cebirsel bir sayı olsun. Paydaları eşitleyerek $\alpha$'yı sıfırlayan $f\neq 0$ polinomunun katsayılarının tamsayılar olduğunu varsayabilirim. $f$'nin başkatsayısı $k$, derecesi de $n$ ise, $k^{n-1}f$'ye bakalım. Bu polinomu $k\alpha$'yı sıfırlayan monik bir polinoma dönüştürmek zor değil.