$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+3)(3^n)}$ serisinin degeri

Question

Asagidaki seri toplaminin tam degeri nedir ? $$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+3)(3^n)}.$$

Answer 1

$\arctan(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1}$ olduğunu biliyoruz.

$x=\frac{1}{\sqrt{3}}$ için sol taraf $\frac{\pi}{6}$ olur.

O halde $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{2(-1)^n.3^{1/2}}{(2n+1)3^n}=\pi$ eşitliğini kenara yazalım.

$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+3)(3^n)}=(\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(2n+1)(3^{n-1})})+(8/3)=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{2(-1)^n.3^{1/2}}{(2n+1)3^n}+8/3$

$\Rightarrow$$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+3)(3^n)}=\frac{16-3\sqrt{3}\pi}{6}$

Comments

Peki o esitligin $\pi$ oldugunu nasil buluyoruz? Sorudaki esitligi kullanaraktan mi?

---

Sorudaki eşitliği kullanmak?

$\arctan(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1}$ eşitliğinde $x=1/\sqrt{3}$ için  sol taraf $\frac{\pi}{6}$ olur

---

Tamamdir. Ilk basta anlamadim $\arctan x$ kullanildigini.

Sorudaki esitligi kullanmak derken $y=ax+b$ (bu durumda da $x=a^{-1}(y-b)$ olur) gibi bir cozum olarak duruyor $\arctan x$ verilmeden once. Kimbilir ispatlayan bunu kullanarak ilk dedigin toplami $\pi$ sayisinin bir toplami olarak yazmistir diye. Fakat su an anladim olayi.

---

Bence cevaba da $\arctan x$ (-den geliyor gibi) ile ilgili kucuk bir aciklama eklenmeli.