Ters Laplace donusumu ile $\int_0^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{\tan \theta}}=\frac{\pi\sqrt2}{2}$ oldugunu gosteriniz.

Question

Asagida $\int_0^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{\tan \theta}}=\frac{\pi\sqrt2}{2}$ integralini ters Laplace transformu ile cozmek icin bir yontem var. Aslinda ilk sorunun cevabi ters Laplace donusumune ihtiyac duymadan da gosterilebilir. Ikincisi sadece basit bir donusum ve ucuncusu de uygun $n,m$ sayilarini bulmak. Bence guzel bir uygulama sorusu.

1) Ters Laplace donusumunu kullanarak   $$\int_0^t x^{m-1}(t-x)^{n-1} dx= \frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(n+m)}t^{m-n-1}$$ oldugunu gosteriniz. (Not: $t=1$ icin beta fonksiyonunu elde ederiz).

2) Yukaridaki esitligi kullanarak $$\int_0^{\pi/2} \sin^{2m-1}(\theta) \cos^{2n-1}(\theta)d\theta=\frac12B(n,m)=\frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{2\Gamma(n+m)}$$ oldugunu gosteriniz.

3) Yukaridaki esitligi kullanarak $$\int_0^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{\tan \theta}}=\frac{\pi\sqrt2}{2}$$ oldugunu gosteriniz.

Answer 1

1) Integrali ters Laplace ile (buna convolution deniliyordu galiba, konvilasyon!?) $$\mathcal L^{-1}\bigg(\mathcal L\{t^{m-1}\}\mathcal L\{t^{n-1}\}\bigg)=\mathcal L^{-1}\bigg(\frac{\Gamma(m)}{s^m}\frac{\Gamma(n)}{s^n}\bigg)=\frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(n+m) t^{m+n-1}}$$ olur. ($m,n >0$).

2) $t=1$ icin $x=\sin^2\theta$ donusumu isteneni verir.

3) ikinciyi kullanarak ($m=1/4$ ve $n=3/4$ icin)  $$\int_0^{\pi/2}\frac{d \theta}{\sqrt{\tan \theta}}=\int_0^{\pi/2}\sin^{-1/2}\theta\cos^{1/2}\theta d\theta=\frac{\Gamma(1/4)\Gamma(3/4)}{2\Gamma(1)}=\frac12\frac{\pi}{\sin(\pi/4)}=\frac{\pi\sqrt2}{2}$$ olur.