Hacmi maksimize eden boyutlar

Question

Erdinç adlı bir çiftçi, 600  $m^2$lik bir malzeme kullanarak, 

üstü de olan, dikdörtgensel bir yer  inşa etmek ister.  

Hacmin  maksimize olacağı  bu yerin boyutlarını bulunuz.

Comments

Erdinç adlı bir çifti olmaz, olamaz! Süleyman olur, Ahmet, Mehmet olur. Ama Erdinç... Asla! :)

---

Hacim V, yüzey alanı S, boyutlar x,y,z  ise

V=xyz

S=600=2(xy+yz+xz)

Buradan z= $\frac{300-xy}{x+y}$ bulunur.

V=xy $( \frac {300-xy}{x+y} )$

fonksiyonunun x>0, y>0, z>0 için maksimumu nasıl  bulunacak?

Answer 1

$V_x=-\frac{y^2 \left(x^2+2 x y-300\right)}{(x+y)^2}=0$

$\Rightarrow y=0 \quad \text{veya} \quad x= -y\mp\sqrt{y^2+300} \Rightarrow (x_0,y_0)=(\sqrt{300},0),  \quad (x_0,y_0)=(-\sqrt{300},0)\quad \text{kritik noktalar}$

$V_y=-\frac{x^2 \left(y^2+2 x y-300\right)}{(x+y)^2}=0$

$\Rightarrow x=0 \quad \text{veya} \quad y= -x\mp\sqrt{x^2+300} \Rightarrow (x_0,y_0)=(0,\sqrt{300}),  \quad (x_0,y_0)=(0,-\sqrt{300})\quad \text{kritik noktalar}$

$x$ ve $y$ nin sifir olmasi anlamsiz..
$x^2+2 x y-300=0$ 
$y^2+2 x y-300=0$
Cikarma islemi yaparsak,
$x^2-y^2=0 \Rightarrow (x+y)(x-y)=0 \Rightarrow x=y$  Yerine koyalim.

$x=-x+\sqrt{x^2+300} \Rightarrow 4x^2=x^2+300 \Rightarrow x=10 \Rightarrow y=10 \Rightarrow (x,y)=(10,10)$ kritik noktadir. Bu kritik nokta gercekten yerel maximum mudur?

$V_{x,x}=-\frac{2 y^2 \left(y^2+300\right)}{(x+y)^3}$

$V_{x,y}=V_{y,x}=-\frac{2 x y \left(x^2+3 xy+y^2-300\right)}{(x+y)^3}$

$V_{y,y}=-\frac{2 x^2 \left(x^2+300\right)}{(x+y)^3}$

$D(V(x,y))=\left(\begin{array}{cc}  V_{xx} & V_{xy} \\ V_{yx}& V_{yy} \\ \end{array} \right)$

$D(V(x_0,y_0))=\left| \begin{array}{cc}  V_{xx} & V_{xy} \\ V_{yx}& V_{yy} \\ \end{array} \right|= V_{xx}(x_0,y_0) V_{yy}(x_0,y_0)- [V_{xy}(x_0,y_0) ]^2$

Eger $D(V(x_0,y_0))$>0 ve $V_{xx}(x_0,y_0)<0,$ ise  $(x_0,y_0)$noktasi   $V(x,y)$ fonksiyonunun yerel maximumudur.

Eger  $D(V(x_0,y_0))$>0 ve $V_{xx}(x_0,y_0)>0,$ ise $(x_0,y_0)$ noktasi   $V(x,y)$fonksiyonunun yerel minimumdur.

Eger  $D(V(x_0,y_0))<0$ ise  $(x_0,y_0)$ noktasi   $V(x,y)$  fonksiyonunun eyer noktasidir.

Eger $D(V(x_0,y_0))=0$ ise ikinci turev testi birsey demez..

$D(V(x_0,y_0))=V_{xx}(x_0,y_0) V_{yy}(x_0,y_0)- [V_{xy}(x_0,y_0) ]^2$

$D(V(x_0,y_0))=V_{xx}(10,10) V_{yy}(10,10)- [V_{xy}(10,10) ]^2=(-10)(-10)-(-5)^2=75>0$  ve

$V_{xx}(10,10)=-10<0$ oldugundan $(x,y)=(10,10)$  noktasi yerel minimum dur.

$z=\frac{300-xy}{x+y} \Rightarrow  z=10$.  Demek ki insa etmemiz gereken boyutlari $(x,y,z)=(10,10,10)$ olan bir kupmus

Comments

Tamam, $V_x$ ve $V_y$   doğru.   

Buradan x,y,z boyutları nasıl bulunacak?