Gerçel sayı dizilerinde yakınsaklık tanımı

2 beğenilme 0 beğenilmeme
97 kez görüntülendi

$(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ gerçel sayı dizisi ve $x\in\mathbb{R}$ olsun.

$$\lim x_n=x:\Leftrightarrow \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall n \,\ (n>N\to |x_n-x|<\epsilon)$$

$$\lim x_n=x:\Leftrightarrow \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall n \,\ (n>N\Rightarrow |x_n-x|<\epsilon)$$

$$\lim x_n=x:\Leftrightarrow \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},(n>N\to |x_n-x|<\epsilon)$$

$$\lim x_n=x:\Leftrightarrow \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},(n>N\Rightarrow |x_n-x|<\epsilon)$$

$$\lim x_n=x:\Leftrightarrow \forall\epsilon>0,\exists N_{\epsilon}\in\mathbb{N},\forall n>N_{\epsilon}, |x_n-x|<\epsilon$$

ifadeleri arasında fark var mıdır?

7, Aralık, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Laedri (190 puan) tarafından  soruldu
14, Aralık, 2015 Laedri tarafından düzenlendi

Sen ne dusunuyorsun?

Bir fark olmadığı kanaatindeyim.

Şu sorular ipucu verecektir:

1. $\rightarrow$ ne demek? ($\Rightarrow$ ile aynı şey mi?)

2. $(n>N\Rightarrow |x_n-x|<\varepsilon)$ bir önerme mi?

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap
Önerme elde etmenin bir yolu da, açık önermelerdeki değişkenlerin önüne niceleyiciler getirmek suretiyle yapılır. Örneğin $$p(x,y):``x+y=0"$$ açık önermesini ele alırsak bu açık önermedeki değişkenlerin önüne değişik sıralarda değişik niceleyiciler koymak suretiyle $$(\forall x\in\mathbb{R})(\exists y\in\mathbb{R})(x+y=0)$$ ve $$(\exists y\in\mathbb{R})(\forall x\in\mathbb{R})(x+y=0)$$ önermeleri elde edilir. Benzer şekilde $(x_n)\in \mathbb{R}^\mathbb{N}$  ve  $x\in\mathbb{R}$ olmak üzere $$p(\epsilon,K,n):``n\geq K\Rightarrow |x_n-x|<\epsilon"$$ açık önermesindeki değişkenlerin önüne farklı niceleyiciler getirmek suretiyle farklı önermeler elde edilebilir. Bunlardan bir tanesi $$(\forall\epsilon>0)(\exists K\in\mathbb{N})(\forall n\in \mathbb{N})(\underset{p(\epsilon, K,n)}{\underbrace{n\geq K\Rightarrow |x_n-x|<\epsilon}})$$ önermesidir. Reel analizde bu önerme doğru ise $(x_n)$ gerçel sayı dizisi, $x$ gerçel sayısına yakınsıyor denir ve bu durum $$x_n\rightarrow x$$ ile gösterilir. Şimdi bu tanımı formel bir şekilde yazıp üzerinde biraz düzenleme yapalım. $(x_n)\in \mathbb{R}^\mathbb{N}$  ve  $x\in\mathbb{R}$  olsun.
$$(\forall\epsilon>0)(\exists K\in\mathbb{N})(\forall n\in \mathbb{N})(n\geq K\Rightarrow |x_n-x|<\epsilon)$$
$$\Leftrightarrow$$
$$(\forall\epsilon>0)(\exists K\in\mathbb{N})[\underset{p}{\underbrace{n\in \mathbb{N}}}\Rightarrow (\underset{q}{\underbrace{n\geq K}}\Rightarrow\underset{r}{\underbrace{ |x_n-x|<\epsilon}})]$$
$$\overset{p\Rightarrow (q\Rightarrow r)\equiv (p\wedge q)\Rightarrow r}{\Leftrightarrow}$$
$$(\forall\epsilon>0)(\exists K\in\mathbb{N})[(n\in \mathbb{N}\wedge n\geq K)\Rightarrow |x_n-x|<\epsilon]$$
$$\Leftrightarrow$$
$$(\forall\epsilon>0)(\exists K\in\mathbb{N})[(n\in \mathbb{N}\wedge n\in\{K,K+1,K+2,\ldots\})\Rightarrow |x_n-x|<\epsilon]$$
$$\Leftrightarrow$$
$$(\forall\epsilon>0)(\exists K\in\mathbb{N})(n\in \mathbb{N}\cap \{K,K+1,K+2,\ldots\}\Rightarrow |x_n-x|<\epsilon)$$
$$\Leftrightarrow$$
$$(\forall\epsilon>0)(\exists K\in\mathbb{N})(n\in \{K,K+1,K+2,\ldots\}\Rightarrow |x_n-x|<\epsilon)$$
$$\Leftrightarrow$$
$$(\forall\epsilon>0)(\exists K\in\mathbb{N})(n\geq K\Rightarrow |x_n-x|<\epsilon)$$
O halde tanımı en sade biçimde aşağıdaki gibi yazabiliriz:

Tanım: $(x_n)\in \mathbb{R}^\mathbb{N}$  ve  $x\in\mathbb{R}$  olmak üzere
$$x_n\rightarrow x:\Leftrightarrow (\forall\epsilon>0)(\exists K\in\mathbb{N})(n\geq K\Rightarrow |x_n-x|<\epsilon)$$

Not: Son olarak tanımda $``n\geq K"$ ifadesi yerine $``n>K"$ ifadesi yazılabilir. Hangisinin yazıldığı önemli değildir.
2, Şubat, 2 murad.ozkoc (8,886 puan) tarafından  cevaplandı
16, Şubat, 16 Laedri tarafından seçilmiş
...