Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
631 kez görüntülendi

(xn)nN gerçel sayı dizisi ve xR olsun.

limxn=x:⇔ϵ>0,NN,n (n>N|xnx|<ϵ)

limxn=x:⇔ϵ>0,NN,n (n>N|xnx|<ϵ)

limxn=x:⇔ϵ>0,NN,(n>N|xnx|<ϵ)

limxn=x:⇔ϵ>0,NN,(n>N|xnx|<ϵ)

limxn=x:⇔ϵ>0,NϵN,n>Nϵ,|xnx|<ϵ

ifadeleri arasında fark var mıdır?

Lisans Matematik kategorisinde (190 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 631 kez görüntülendi

Sen ne dusunuyorsun?

Bir fark olmadığı kanaatindeyim.

Şu sorular ipucu verecektir:

1. ne demek? ( ile aynı şey mi?)

2. (n>N|xnx|<ε) bir önerme mi?

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap
Önerme elde etmenin bir yolu da, açık önermelerdeki değişkenlerin önüne niceleyiciler getirmek suretiyle yapılır. Örneğin p(x,y):``x+y=0" açık önermesini ele alırsak bu açık önermedeki değişkenlerin önüne değişik sıralarda değişik niceleyiciler koymak suretiyle (\forall x\in\mathbb{R})(\exists y\in\mathbb{R})(x+y=0) ve (\exists y\in\mathbb{R})(\forall x\in\mathbb{R})(x+y=0) önermeleri elde edilir. Benzer şekilde (x_n)\in \mathbb{R}^\mathbb{N}  ve  x\in\mathbb{R} olmak üzere p(\epsilon,K,n):``n\geq K\Rightarrow |x_n-x|<\epsilon" açık önermesindeki değişkenlerin önüne farklı niceleyiciler getirmek suretiyle farklı önermeler elde edilebilir. Bunlardan bir tanesi (\forall\epsilon>0)(\exists K\in\mathbb{N})(\forall n\in \mathbb{N})(\underset{p(\epsilon, K,n)}{\underbrace{n\geq K\Rightarrow |x_n-x|<\epsilon}}) önermesidir. Reel analizde bu önerme doğru ise (x_n) gerçel sayı dizisi, x gerçel sayısına yakınsıyor denir ve bu durum x_n\rightarrow x ile gösterilir. Şimdi bu tanımı formel bir şekilde yazıp üzerinde biraz düzenleme yapalım. (x_n)\in \mathbb{R}^\mathbb{N}  ve  x\in\mathbb{R}  olsun.
(\forall\epsilon>0)(\exists K\in\mathbb{N})(\forall n\in \mathbb{N})(n\geq K\Rightarrow |x_n-x|<\epsilon)
\Leftrightarrow
(\forall\epsilon>0)(\exists K\in\mathbb{N})[\underset{p}{\underbrace{n\in \mathbb{N}}}\Rightarrow (\underset{q}{\underbrace{n\geq K}}\Rightarrow\underset{r}{\underbrace{ |x_n-x|<\epsilon}})]
\overset{p\Rightarrow (q\Rightarrow r)\equiv (p\wedge q)\Rightarrow r}{\Leftrightarrow}
(\forall\epsilon>0)(\exists K\in\mathbb{N})[(n\in \mathbb{N}\wedge n\geq K)\Rightarrow |x_n-x|<\epsilon]
\Leftrightarrow
(\forall\epsilon>0)(\exists K\in\mathbb{N})[(n\in \mathbb{N}\wedge n\in\{K,K+1,K+2,\ldots\})\Rightarrow |x_n-x|<\epsilon]
\Leftrightarrow
(\forall\epsilon>0)(\exists K\in\mathbb{N})(n\in \mathbb{N}\cap \{K,K+1,K+2,\ldots\}\Rightarrow |x_n-x|<\epsilon)
\Leftrightarrow
(\forall\epsilon>0)(\exists K\in\mathbb{N})(n\in \{K,K+1,K+2,\ldots\}\Rightarrow |x_n-x|<\epsilon)
\Leftrightarrow
(\forall\epsilon>0)(\exists K\in\mathbb{N})(n\geq K\Rightarrow |x_n-x|<\epsilon)
O halde tanımı en sade biçimde aşağıdaki gibi yazabiliriz:

Tanım: (x_n)\in \mathbb{R}^\mathbb{N}  ve  x\in\mathbb{R}  olmak üzere
x_n\rightarrow x:\Leftrightarrow (\forall\epsilon>0)(\exists K\in\mathbb{N})(n\geq K\Rightarrow |x_n-x|<\epsilon)

Not: Son olarak tanımda ``n\geq K" ifadesi yerine ``n>K" ifadesi yazılabilir. Hangisinin yazıldığı önemli değildir.
(11.5k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
20,312 soru
21,868 cevap
73,589 yorum
2,859,725 kullanıcı