Fonksiyon cisimlerinde turevlerin $1$-boyutlu modul olmasi ve zincir kurali [kapalı]

0 beğenilme 0 beğenilmeme
72 kez görüntülendi

Tanim 4.1.5:  a) $x \in F$ elemani $F/K$ fonksiyon cisminin ferdi unsuru (separarting element) olsin. $F/K$ fonksiyon cisminin $\delta_x(x)=1$ sartini saglayan $\delta_x : F \to F$ turevine $x$'e gore turev diyecegiz.

b) $Der_F := \{\eta: F \to F \: | \: \eta \text{ turev}\}$ olarak tanimlayalim. $\eta_1,\eta_2 \in Der_F$ ve $z,u \in F$ icin $$ (\eta_1+\eta_2)(z) := \eta_1(z)+\eta_2(z) \text{ ve } (u\eta_1)(z)=u(\eta_1(z))$$ olarak tanimlayalim. Bu durumda $\eta_1+\eta_2$ ve $u \eta_1$ de turev olurlar ve $Der_F$ de bir $F$- modul olur. Bu nedenle $Der_F$ kumesini $F/K$ fonksiyon cisminin turevlerinin modulu olarak adlandiracagiz.

Onsav 4.1.6: $x \in F$ elemani $F/K$ fonksiyon cisminin ferdi unsuru olsun. Asagidakiler saglanir:
a) Her $\eta\in Der_F$ icin $\eta=\eta(x)\delta_x$ olur. Yani $Der_F$  $1$-boyulu $F$- moduldur.
b) (Zincir kurali) $y \in F$ baska bir ferdi unsur olsun, bu durumda $$\delta_y=\delta_y(x)\delta_x$$ olur.
c) $t \in F$ olsun. $$\delta_x(t) \ne 0 \Leftrightarrow t \text{ ferdi unsur}.$$

notu ile kapatıldı: Kitap cevirisi
7, Aralık, 2015 Akademik Matematik kategorisinde Sercan (23,218 puan) tarafından  soruldu
7, Aralık, 2015 Sercan tarafından kapalı

Belki ilerde birileri kendi ispatlarını da yazmak isteyebilirler.

Kapatmamin sebebi her soruda eski tanimlari vermek ve unite basi kabulleri eklemek istememem. Zaten yakin bir zamanda duzenleyecegim, o zaman tekrar acmayi planliyorum. Baglantilarla beraber. Bi yerlerine akisin nasil devam ettigini eklemem gerekiyor.

Yani tadilattan dolayi kapali.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

a) $\eta$ ve $\eta(x)\delta_x$ turevleri icin $(\eta(x)\delta_x)(x)=\eta(x)\delta_x(x)=\eta(x)$ esitligi saglandigindan, Onsav 4.1.3'ten dolayi $\eta=\eta(x)\delta_x$ esitligi vardir.

b) a)'nin ozel durumu.

c) Eger $t\in F$ ferdi unsur ise $1=\delta_t(t)=\delta_t(x)\delta_t(x)$ olur. Yani $\delta_x(t) \ne 0$. Simdi $t \in F$ elemaninin ferdi unsur olmadigini kabul edelim. Bu durumda $\text{char }K=0$ ise $t \in K$ ve $\text{char }K=p>0$ ise bir adet $u \in F$ elemani icin $t=u^p$ olur. (Onerme 3.10.2'ye bakilabilir). Onsav 4.1.2 (a) ve (c)'den dolayi $\delta_x(t)=0$ olur.

7, Aralık, 2015 Sercan (23,218 puan) tarafından  cevaplandı
...