Pappus teoreminin ispatlari

Question

Pappus teoreminin degisik ispatlari nelerdir?

Answer 1

Sav(Pappus): Eğer $A$, $B$, $C$ bir doğru üzerindeki üç nokta ve $a$,$b$,$c$ de başka bir doğru üzerinde üç nokta ise, o zaman $Ab$ ve $aB$, $aC$ ve $Ac$, $Bc$ ve $Cb$ doğrularının kesişim noktaları $X$,$Y$,$Z$ yine bir doğru üzerindedir($=:$doğrudaştır).

Kanıt (Öklid geometrisi): Öklid geometrisinin sınırları içerisinde kalıp şekildeki gibi

gibi $U$,$V$,$W$ noktalarını eklenmesiyle ortaya çıkan $\triangle UVM$ üçgenine  $YcA$, $CZb$, $aBX$, $CBA$ ve $acb$ nokta üçlüleri için Menelaus teoremini(örneğin bkz.) uyguyalım:

$\frac{VY}{YW}\cdot\frac{Wc}{cU}\cdot\frac{UA}{AV}=-1$

$\frac{VC}{CW}\cdot\frac{WZ}{ZU}\cdot\frac{Ub}{bV}=-1$

$\frac{Va}{aW}\cdot\frac{WB}{BU}\cdot\frac{UX}{XV}=-1$

$\frac{VC}{CW}\cdot\frac{WB}{BU}\cdot\frac{UA}{AV}=-1$

$\frac{Va}{aW}\cdot\frac{Wc}{cU}\cdot\frac{Ub}{bV}=-1$

Şimdi ilk üç denklemin sol taraflarının çarpımını son üç denklemin sol taraflarının çarpımına bölelim ve tabiki de sağ taraflarla da aynı şeyi yapıp şu denkliği bulalım:

$\frac{VY}{YW}\cdot \frac{WZ}{ZU} \cdot \frac{UX}{XV}=-1$

Buna, Menelaus teoremin tersi uygulandığında $X$,$Y$ ve $Z$ noktalarının doğrudaş olduğu çıkar.

Comments

5 yıldızlı olmuş  sevgili @Kaan .