Değişmeli bir halkadaki minimal asal bir idealin her elemanı sıfır bölenidir.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
73 kez görüntülendi
13, Mart, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Safak Ozden (3,372 puan) tarafından  soruldu

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Halkamiz: $A$, minimal asal idealimiz: $P$ ve icinde ki siradan elemanimiz da: $s$ olsun.

$A$'yi ilk olarak $A_P=A-P$ ile yerellestirelim. Bu yerellesitme $Y$ olsun. 
O zaman $PA_P$ bunun tek maksimal idealidir. (Yerellestirmenin mantigi.)
Bir de $P$ minimal asal ideal, o zaman bu $PA_P$ idealimiz $Y$ icindeki tek asal ideal olmali.
O zaman sifirguclu grup dedigimiz asal ideallerin kesisimi oldugundan ve tek asal idealimiz oldugundan $PA_P$'nin elemanlari sifir gucludur.
$s/1$ elemani bu asal idealin icerisinde, o zaman sifir guclu olmali, yani bir adet tam sayi $n>0$ var ki $s^n/1=(s/1)^n=0/1 := 0$ olmali. O halde bir adet $t \in A_P$ var ki $t(s^n\cdot1-0\cdot1)=0$ olmali. Yani $(ts^{n-1})s=0$. Bu da bize $s$'in sifir bolen oldugunu verir.

Ek olarak: $P=\{0\}$ da olabilir. O zaman $Y$ bir cisim olur. 
$P=\{0\}$ ideali de her zaman asal ideal olacak diye bir durum soz konusu degil. Sifir olmayan sifir bolen bir eleman varsa eger, bu $P=\{0\}$'nin asal olmamasi icin yeterli.

14, Mart, 2015 Sercan (22,820 puan) tarafından  cevaplandı

Cozumde bir hata gormedim. Dogrudur diye tahmin ediyorum. Belki bu kadar seye de gerek yoktur, daha basit bir yol goremedim. Daha basit her zaman tercihen ama su an icin minimal basit bu benim icin.

$1$'in varligini kabul etmisim. Eger halkada $1$ de varsa sorusunu cozmusum.

Bu yerel halkalari Atiyah'in kitabindan hatirliyorum. Kitap zaten bastan $1$'i kabul ediyor. Lakin $1:=t/t$'dir. Belki $1$'in olmadigi yerellestirme de boyle yapiliyordur. O zaman yine cevap bu sekilde olur.

Ben de birim elemana sahip halkalar için sormuştum aslında. Ama birim yoksa doğru mu bilmiyorum, düşüneyim azıcık.

Bi sonuc bulabildin mi?

...