$y,z$ oyle ki $y=zf(y)$ ve $f$ kuvvet serisi. Tum $g(y)$ fonksiyonlarinin $z$ cinsinden kuvvet serisi [kapalı]

1 beğenilme 0 beğenilmeme
41 kez görüntülendi

Elimizde $y,z$ olarak iki adet fonksiyon olsun. Bu ikisi arasinda da $y=zf(y)$ bagintisi olsun, $f$ fonksiyonumuz $y$ cisinden bir kuvvet serisi (power series). O halde tum $g(y)$ fonksiyonlarini $z$'nin bir kuvvet serisi olarak yazabiliriz ve o seri:

$g(y)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!}\bigg( \big(f(y)^kg^{'}(y)\big)^{(k-1)}\bigg|_{y=0}\bigg)z^k$

serisidir. (Burda $^{(k-1)}$, $k-1$inci turevi.)


Ek:Burda ki tum'den kasit: surekli turevlenebilen tum.

notu ile kapatıldı: Kendisi Lagrange-Burmann fomulu ve ispati kolay bulunabilir.
13, Mart, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Sercan (23,218 puan) tarafından  soruldu
17, Mart, 2015 Sercan tarafından kapalı

Bunun isbâtını soruyorsun sanırım.

Evet. Aslinda bu arada arastirip buldum, ne oldugunu. Lagrance-Burmann formuluymus bu. Cok ise yarar bir formul bence. Eger daha onceden ispatini yapmis biri guzel bir sekilde eklerse iyi olur.

bu bildigimiz analitik fonksyionlarin guc serisi acilimi degil mi? ayni ispat biraz modifikasyonla calismiyor mu?

Emin degilim ama orda direk bi nokta icin seri yazmiyor muyuz?  Burda $y=zf(y)$ var. $z$'i $y-y_0$ olarak aliyor burasi..$y_0=0$ olarak dusunursek $f(y)=1$ yapar ve dedigin gibi olur. Bu arada bulmus oldum iliskiyi :) Ispati da zor degilmis, bir iki adim..

...