Question

Bir dizinin yığılma noktası ne demektir? Bir dizinin yığılma noktası ile bir kümenin yığılma noktası kavramları farklı mıdır?

Answer 1

Tanım: $\langle x_n\rangle\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ $($yani $\langle x_n\rangle$ bir gerçel sayı dizisi$)$ ve $x\in\mathbb{R}$ olmak üzere

$$x, \langle x_n\rangle \text{ dizisinin yığılma noktası}$$ $$:\Leftrightarrow$$ $$(\forall \epsilon>0)\left(\big{|}(x-\epsilon,x+\epsilon)\cap\{x_n|n\in \mathbb{N}\}\big{|}=\aleph_0\right)$$

Yani bir $x$ gerçel sayısının $\langle x_n\rangle$ dizisinin bir yığılma noktası olması demek, $x$ sayısının her komşuluğunda diziye ait sayılabilir sonsuz çoklukta elemanın olması demektir.

Tanım: $A\subseteq \mathbb{R}$ ve $x\in \mathbb{R}$ olmak üzere

$$x, A\text{'nın yığılma noktası}$$ $$:\Leftrightarrow$$ $$(\forall \epsilon>0) \left( \left(x-\epsilon,x+\epsilon\right)\cap \left(A\setminus \{x\}\right) \neq\emptyset \right)$$

Yani bir $x$ gerçel sayısının $A$ kümesinin bir yığılma noktası olması demek, $x$ sayısının her komşuluğunda $A$ kümesine ait $x$ gerçel sayısından farklı en az bir gerçel sayının olması demektir.

Tanımlardan da anlaşılacağı üzere bu iki kavram birbirinden farklıdır. Bu iki kavram KARIŞTIRILMAMALIDIR.

Örneğin $-1$ ve $1$ gerçel sayıları $\langle (-1)^n\rangle$ dizisinin birer yığılma noktası olmasına karşın $-1$ ve $1$ gerçel sayıları $\langle (-1)^n\rangle$ dizisinin terimlerinden oluşan $\{-1,1\}$ kümesinin birer yığılma noktası değildir.