sayılabilir olmayan her alt kümenin en az bir tane yığılma noktası var mıdır

0 beğenilme 0 beğenilmeme
104 kez görüntülendi
$R^n$ nin sayılabilir olmayan her alt kümesinin en az bir tane yığılma noktası vardır. Bunu ispatlayınız.
24, Temmuz, 2017 Lisans Matematik kategorisinde sultanabla (13 puan) tarafından  soruldu

Bolzanı-Weirstrass Teoremi'nin ispatını bu soru için uygulayabilir miyim? Yani sınırlı ve sonsuz elemanlı demek sayılabilir olmayan mı demektir?

bence uygulanabilir "bisection" du sanırım yöntemin adı.

Siz bu konuda ne düşündünüz / denediniz?

$\mathbb{R}^n$ sınırlı bir küme değildir.

Ne düşündüğünüzü belirtmediğiniz için açıklama yapmak yerine epey ilgisizmiş gibi gözüken ama çözdüğünüzde bu soruya dair de ipucunu elde edeceğiniz bir soru sormayı daha uygun buluyorum. Soru şöyle:


$a_i\in \mathbb{R}_{\geq 0}$ olacak biçimde $\{a_i\}_{i\in I}$ bir topluluk alalım. Ve ek olarak $I$ kümesinin sayılamaz olduğunu varsayalım. Son olarak da böyle topluluklara uzun reel sayılar $[0,+\infty]$ kümesinden bir eleman atıyan $top$operatörü ele alalım: $$top(\{a_i\}_{i\in I})=\sup \Big\{\sum_{j\in J}a_j|J\subset I, |J|<\infty\Big\}.$$

Artık iddiayı dile getirebiliriz. $top(\{a_i\}_{i\in I})<\infty$ ise $a_i\neq 0$ eşitsizliği yalnızca sayılabilir çoklukta $i\in I$ doğrudur.


İddiayı kanıtlamak için 

birinci ipucu: Pozitif reel sayılardan oluşan bir $a_n$ dizisinin tanımladığı seri yakınsak ise, bu dizide, her $m$ pozitif tamsayısı için $$a_n\geq 1/m$$ eşitsizliğini sağlayan sonlu sayıda eleman vardır.

ikinci ipucu: Sayılabilir çoklukta sayılabilir kümenin birleşimi de sayılabilir bir kümedir.


İlgili olarak: http://matkafasi.com/15526/seri-sorusu

$\mathbb{R}^n$ yi sayılabilir çoklukta, sınırlı kümelerin birleşimi olarak yazabilir miyiz?

...