Question

Her $x\in\mathbb{R}$ için $$\sum\limits_{n=0}^\infty2^n\left(x^{1/2^{n+1}}-1\right)^2=x-1-\ln x$$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

Öncelikle soruda geçen $x$ sayısının pozitif olduğunu
varsaymalıyız. Aksi halde $\sqrt[2^{n}]{x}$ gerçel sayı olarak
tanımsız olur. $a_{n}=\sqrt[2^{n}]{x}$ koyalım. $a_{n+1}^{2}=a_{n}$
olduğundan $\left( a_{n+1}-1\right) ^{2}=a_{n}-2a_{n+1}+1$ dir. O halde
 

$S_{m}=\sum\limits_{n=0}^{m}2^{n}\left( a_{n+1}-1\right) ^{2}$

$=\sum\limits_{n=0}^{m}\left( 2^{n}a_{n}-2^{n+1}a_{n+1}\right) +\sum\limits_{n=0}^{m}2^{n}$

$=a_{0}-2^{m+1}a_{m+1}+2^{m+1}-1$

$=x-1-2^{m+1}\left( a_{m+1}-1\right)$

olur. $\lim_{m\rightarrow \infty }m\left( \sqrt[m]{x}-1\right) =\ln x$ olduğundan $\lim_{m\rightarrow \infty }2^{m+1}\left( a_{m+1}-1\right) =\ln x$
dir. Böylece $\lim_{m\rightarrow \infty }S_{m}=x-1-\ln x$ bulunur.