Her $m,n\in\mathbb{R}$ için $$I=\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{(1+x^2)\left(1+x^m\right)}=\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{(1+x^2)\left(1+x^n\right)}$$ olduğunu gösteriniz.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
59 kez görüntülendi

Her $m,n\in\mathbb{R}$ için $$I=\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{(1+x^2)\left(1+x^m\right)}=\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{(1+x^2)\left(1+x^n\right)}$$ olduğunu gösteriniz.

7, Haziran, 7 Lisans Matematik kategorisinde murad.ozkoc (9,443 puan) tarafından  soruldu
12, Haziran, 12 murad.ozkoc tarafından düzenlendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

$$y=\frac1x$$ dönüşümünü uygulayalım.

$$y=\frac1x\Rightarrow dy=-\frac1{x^2}dx\Rightarrow dx=-\frac{dy}{y^2}$$

ve

$$x=0 \ \text{ için } \ y=\infty$$ ve

$$x=\infty \ \text{ için } \ y=0$$ olur. Buradan da

$$I=\int_{\infty}^{0}\frac{-\frac{dy}{y^2}}{\left(1+\frac{1}{y^2}\right)\left(1+\frac{1}{y^m}\right)}=\int_{0}^{\infty}\frac{y^m}{\left(1+y^2\right)\left(1+y^m\right)}dy$$

$$\Rightarrow$$

$$I=\int_{0}^{\infty}\frac{-1+(1+y^m)}{\left(1+y^2\right)\left(1+y^m\right)}dy$$

$$\Rightarrow$$

$$I=\int_{0}^{\infty}\frac{-1}{\left(1+y^2\right)\left(1+y^m\right)}dy+\int_{0}^{\infty}\frac{1+y^m}{\left(1+y^2\right)\left(1+y^m\right)}dy$$

$$\Rightarrow$$

$$I=-I+\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+y^2}dy$$

$$\Rightarrow$$

$$2I=\arctan y \Big{|}_{0}^{\infty}$$

$$\Rightarrow$$

$$I=\frac{\pi}{4}$$

elde edilir.

7, Haziran, 7 murad.ozkoc (9,443 puan) tarafından  cevaplandı

Bravo!

Güzel çözüm.

...