İki sayılabilir kümenin birleşimi de sayılabilirdir

Question

Tanim1: İki kume arasinda birebir ve orten bir fonksiyon varsa bu kumelere essayili diyelim.

 Tanim2: A bir kume olsun. A ya sayilabilir diyelim eger A sonlu elemanliysa ya da $\mathbb{N}$ ile essayili ise.

Önerme: $A$ ve $B$ sayılabilir iki küme olsun. $A \cup B$ nin de sayılabilir olduğunu gösterin.

$A$ ve $B$ nin sonlu olduğu ve $A$'nın sonlu $B$'nin sonsuz olduğu durumları yapabildim. İkisinin de sonsuz olduğu durumu incelemek kaldı.

Answer 1

İpucu:

$$|A\cup B|\leq |A|+|B|\leq \aleph_0+\aleph_0=\aleph_0$$

Answer 2

$A$ ve $B$'nin ayrik oldugunu dusunerek baslayalim:

$A$'dan $\mathbb{N}$'ye giden bir $f$ eslemesi var.

$B$'den $\mathbb{N}$'ye giden bir $g$ eslemesi var.

$h: A \cup B \to \mathbb{N}$ fonksiyonunu 

$$h(x) = \begin{cases} 2f(x) \quad \text{eger }x\in A \text{ ise} \\ ?? \quad \quad \text{ eger } x \in B \text{ ise} \end{cases}$$ olarak tanimla (?? kismini sen doldur). Bu tanimi yaptiktan sonra $h$'nin birebir ve orten oldugunu gostermek zor degil. 

(Hilbert Hoteli'ni duyduysan, yukarida soyledigim Hilbert Hoteli problemlerinden bir tanesi.)

Eger $A$ ve $B$ ayrik degiller ise $A\setminus B, B\setminus A$ ve $A \cap B$ kumeleri ayrik kumelerdir ve sayilabilirlerdir (Burada sayilabilir bir kumenin altkumesinin de sayilabilir oldugunu kullanmak zorundayiz sanirim.). Ustelik $A \cup B = (A\setminus B) \cup  (B\setminus A) \cup (A \cap B)$'dir. Yani, soruyu daha once bildigimiz durumlara indirgemis olduk. 

Comments

Evet, soruyu sorduktan sonra bu kanıtın aynısını yaptım kendi kendime. $??$ yerine $2g(x)+1$ gelecek.

Bu durumda tümevarımla $A_1 , A_2 , . . . A_n , ..$ sayılabilir kümeler dizisi için, 

${\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n}$ in de sayılabilir olduğunu gösterebiliriz.