Question

$A$ ve $B$ iki küme olmak üzere $$A \times B = B \times A \Rightarrow ( A=B \vee A=\emptyset \vee B=\emptyset )$$ olduğunu gösteriniz.

Comments

soru nedir tam olarak?

Answer 1

İpucu:

$$p\Rightarrow q\equiv q'\Rightarrow p'$$

yani

$$A \times B = B \times A\Rightarrow ( A=B \vee A=\emptyset \vee B=\emptyset )$$

$$\equiv$$

$$( A=B \vee A=\emptyset \vee B=\emptyset )' \Rightarrow (A \times B = B \times A)'$$

$$\equiv$$

$$( A\neq B)(A\neq \emptyset)(B\neq\emptyset ) \Rightarrow A \times B\neq B \times A$$

Answer 2

Aslında soruda verilen ifade gerek ve yeter şarttır. Yani sağ taraf sol tarafı gerektirmekte.

Şimdi kabul edelim ki; $A\neq \emptyset$ ve $B\neq \emptyset$ olsun. $A=B$ olduğunu görelim. Bunun için birbirlerinin altkümesi olduklarını göstereceğiz.  $x\in A$ olsun. $B\neq \emptyset$ olduğundan en az bir eleman vardır. Buna $y\in B$ diyelim. Bu durumda $(x,y)\in A\times B=B\times A$ yani $x\in B$ elde edilir. $x$ keyfi seçildiğinden $A\subseteq B$ bulunur. Benzer işlemin tekrarıyla $B\subseteq A$ elde etmek mümkündür. Sonuç $A=B$ şeklindedir.

Comments

Teşekkür ederim. Yeter kısmı açık olduğu için sormamıştım.