$P(x)^2-2= 2P(2x^2-1)$ eşitliğini sağlayan bütün polinomları bulun

2 beğenilme 0 beğenilmeme
416 kez görüntülendi


7, Mart, 2015 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Salih Durhan (1,259 puan) tarafından  soruldu

$P$'nin kat sayilari nereden ve tanim araligi nedir acaba?

Sen bu soruların cevabını biliyor musun? (Yani düşünelim mi?)

Hocam diger ikisi neyse de, bu biraz zor gibi. (Zorluk:) Cunku bunun saglayani var. En azindan sabit fonksiyon kosuluyla bulunabiliyor. Ben biraz baktim epey var gibi.

Güzel sorular varmış..

Arada sirada matematik olimpiyatlari sorularina bakip begendiklerimi soruyorum, bu da onlardan bir soru. Yukarida linki verilmis zaten.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
Linkteki cevabin cevrilmis hali:

$P(1)=a$ olsun. O halde $a^2-2a-2=0$ olur. Simdi $$P(x)=(x-1)P_1(x)+a$$ olarak yazalim, denklemde yerine koyup sadelestirdigimizde
$$(x-1)P_1(x)^2+2aP_1(x)=$(x+1)P_1(2x^2-1)$$
esitligini elde ederiz. $x=1$ icin
$$2aP_1(1)=8P_1(1)$$
ve yukaridaki ilk $a$ tanimimizda $a \neq 4$ oldugundan $P_1(1)=0$ olur. O halde 
$$P_1(x)=(x-1)P_2(x)$$
olarak yazalim. Yani
$$P(x)=(x-1)^2P_2(x)+a$$
olur. $P_2(x)$'in $(x-1)$ bolenlerini disariya atalim. O halde bir adet $Q(x)$ var ki $Q(1) \neq 0$ ve 
$$P(x)=(x-1)^nQ(x)+a$$
olur, bir $n$ dogal sayisi icin. Bunu denklemimize koyarsak
$$(x-1)^nQ_1(x)^2+2aQ(x)=2(2x+2)^nQ(2x^2-1)$$
esitliginden $Q(1)=0$ elde ederiz. Bu da bir celiski verir. O halde 
$$P(x)=a$$
olmalidir, oyle ki $a^2-2a-2=0$.
20, Mart, 2015 Sercan (23,698 puan) tarafından  cevaplandı
...