$P(x)^2+P(\frac1x)^2= P(x^2)P(\frac1{x^2})$ eşitliğini sağlayan bütün polinomları bulun

0 beğenilme 0 beğenilmeme
196 kez görüntülendi


7, Mart, 2015 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Salih Durhan (1,259 puan) tarafından  soruldu

4 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Kaba kuvvetle yaptım ve $0$ polinomdan başka polinomun sağlamadığını buldum. Kaba kuvvet işi hammâliyeli olduğu için buraya yazamıyorum. Fakat $n$ dereceli bir polinom alıp eşitliğe uygun şekilde ifadeye konur ve kuvvetlere göre katsayılar eşitlenirse, bütün katsayıların $0$ olması gerektiği çıkar.

8, Mart, 2015 Yasin Şale (1,250 puan) tarafından  cevaplandı

Hmm. Muhtemelen daha hos bor cozumu vardir. Dusunelim.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$(P(x)-P(1/x)/2)^2$=$-3/4.(p(1/x)^2)$.  Tam kare içi sıfır olmalı

$a^2=-b^2$   burada oluyor mu peki ? Pozitif bir ifade negatif bir ifadeye eşit geliyor bir cvp oldu mu ? 

10, Mart, 2015 ali tas (1,506 puan) tarafından  cevaplandı
10, Mart, 2015 ali tas tarafından düzenlendi

1/4 katsayisini atlamissiniz galiba..

Evet dalgınlık kağıt üstünde uraşmadm o yüzden atlamışım

bu sefer de iceride $x^2$ oldugunu.. :)

Evet ya soruyu görmek daha zor çömekten :) 

0 beğenilme 0 beğenilmeme
ilk olarak:  $P$nin derecesine $n$ diyelim. O zaman $P(\frac{1}{x})=\frac{1}{x^n}P^*(x)$ olur. Bu gozlemden sonra bitiyor aslinda..

$P(x)^2+\frac{1}{x^{2n}}P^*(x)^{2}=\frac{1}{x^{2n}}P(x^2)P^*(x^2)$ Burdaki dereceleri inceledigimizde  $P=0$ geliyor.
10, Mart, 2015 Sercan (23,693 puan) tarafından  cevaplandı
10, Mart, 2015 Sercan tarafından düzenlendi

$P^*(x)=x^nP(\frac{1}{x})$

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$P(x)$ polinom iken $P(\frac{1}{x})$ de polinomsa, bu polinom ya sabit polinomdur ya 0 polinomu, toplamların çarpıma eşitliği verilmiş bu ancak 0 için mümkün

11, Mart, 2015 yavuzkiremici (1,753 puan) tarafından  cevaplandı
13, Mart, 2015 yavuzkiremici tarafından yeniden gösterildi

onun polinom oldugunu bilmiyoruz. $P(x)$ sadece polinom.

:) soruda yalnızca P(x) mi polinom diyor ben öyle anlamıyorum

O zaman tüm $f(x,y,z,\cdots)$ polinomları bunu sağlar :) çünkü $P$'den de bahsedilmemiş.

...