Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
1.1k kez görüntülendi


Orta Öğretim Matematik kategorisinde (1.8k puan) tarafından  | 1.1k kez görüntülendi

hangisinin derecesi birden buyuk olacak?

İkisi de yanılmıyorsam.

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme

Bu şekilde polinomların var olup olmadığı, P(Q(x)) polinomunun köklerinin değerlerine bağlıdır. Köklerden bağımsız olarak karar verilemez. Güzel bir soru olmuş.

Bu sorudaki kökler 1,2,...,15 olup (hesabını yapmadım ama uzunca bir hesapla, ( basit bir bilgisayar programı ile daha kolayca veya güzel kısa bir mantık ile ) sanıyorum böyle iki polinomun var olmadığı görülür. Ben, (kök olarak) başka sayılar kullanıldığında böyle polinomların var olduğu gösteren bir örnek vereyim:

a1,a2,,a15 sayıları (farklı olmayabilirler) ,

a1+a2+a3=a4+a5+a6==a13+a14+a15 ve 

a1a2+a1a3+a2a3==a13a14+a13a15+a14a15

olacak şekilde (15 bilinmeyen daha az denklem olduğu için bulunabilir) seçilirse ve b=a1+a2+a3, c=a1a2+a1a3+a2a3 alınıp,

Q(x)=x3bx2+cx,P(x)=(xa1a2a3)(xa4a5a6)(xa13a14a15)

alındığında P(Q(x))=(xa1)(xa2)(xa15) olduğu, a1,a2,,a15 sayılarının herbirinin P(Q(x)) in kökü oluşundan görülür. 

 Başka (farklı dereceli) bir örnek de Q(x)=x27x, P(x)=(x+6)(x+10)(x+12) için (köklerine bakarak) P(Q(x))=(x1)(x2)(x6) olduğu görülür. Bunun ilgili genel bir kriter bulduğumu sanıyorum. Bulduklarımı yazmayı bitirince paylaşırım.

(6.2k puan) tarafından 

İkinci koşul olarak a21+a22+a23=a24+a25+a26==a213+a214+a215 da istenebilir (c yi yine a1a2+a1a3+a2a3 almak gerekiyor). Bulduğum kriter bu örneklerden görülebiliyor.

Güzel bir yaklaşım.teşekkürler.


0 beğenilme 0 beğenilmeme

P'nin derecesi 5 ya da 3 olabilir. Diyelim ki 3 olsun (en kotu tercih bu). O zaman P(Q(1,,15))=0 ve  deg(P)=3. O halde bu icerdekilerin 5erli olarak ayni degeri vermesi lazim ve hepsi birbirinden farkli olmasi lazim..

O zaman Q(x)=u(xa1)(xa5)+b1 ve Q(x)=v(xa6)(xa10)+b2 olmasi lazim.. ai'ler 1 ile 15 arasinda ve farkli. ve b1b2 o zaman bu bir celiski getirir.

Cok detayli yazmadim ama anlasilir diye tahmin ediyorum.

(25.5k puan) tarafından 
20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,861 kullanıcı