Bu şekilde polinomların var olup olmadığı, P(Q(x)) polinomunun köklerinin değerlerine bağlıdır. Köklerden bağımsız olarak karar verilemez. Güzel bir soru olmuş.
Bu sorudaki kökler 1,2,...,15 olup (hesabını yapmadım ama uzunca bir hesapla, ( basit bir bilgisayar programı ile daha kolayca veya güzel kısa bir mantık ile ) sanıyorum böyle iki polinomun var olmadığı görülür. Ben, (kök olarak) başka sayılar kullanıldığında böyle polinomların var olduğu gösteren bir örnek vereyim:
a1,a2,…,a15 sayıları (farklı olmayabilirler) ,
a1+a2+a3=a4+a5+a6=⋯=a13+a14+a15 ve
a1a2+a1a3+a2a3=⋯=a13a14+a13a15+a14a15
olacak şekilde (15 bilinmeyen daha az denklem olduğu için bulunabilir) seçilirse ve b=a1+a2+a3, c=a1a2+a1a3+a2a3 alınıp,
Q(x)=x3−bx2+cx,P(x)=(x−a1a2a3)(x−a4a5a6)⋯(x−a13a14a15)
alındığında P(Q(x))=(x−a1)(x−a2)⋯(x−a15) olduğu, a1,a2,…,a15 sayılarının herbirinin P(Q(x)) in kökü oluşundan görülür.
Başka (farklı dereceli) bir örnek de Q(x)=x2−7x, P(x)=(x+6)(x+10)(x+12) için (köklerine bakarak) P(Q(x))=(x−1)(x−2)⋯(x−6) olduğu görülür. Bunun ilgili genel bir kriter bulduğumu sanıyorum. Bulduklarımı yazmayı bitirince paylaşırım.