$n$ tek bir sayi olmak uzere $n^2-1$ sayisinin $8$ sayisina tam bolunecegini ispatlayiniz.

1 beğenilme 0 beğenilmeme
100 kez görüntülendi

$n$ tek bir sayi olmak uzere $n^2-1$ sayisinin $8$ sayisina tam bolunecegini ispatlayiniz.
_____________________________
Su soruyla ilgili: link.
_____________________________
Ornek olarak bakarsak:

$1^2-1=0$
$3^2-1=8$
$5^2-1=24$
$7^2-1=48$

amac her tek sayi icin bunun saglandigini gostermek.

30, Ekim, 2015 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Sercan (23,797 puan) tarafından  soruldu

5 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme

$n=2k-1$ olsun.

$n^2-1=(2k-1)^2-1=(2k-1-1)(2k-1+1)=(2k-2)(2k)=4k(k-1)$

$k \in Z$ olduğuna göre, $k.(k-1)$ bir çift sayıdır.

O hâlde $4k(k-1)$, $8$'e bölünebilir.

30, Ekim, 2015 funky2000 (4,535 puan) tarafından  cevaplandı
1 beğenilme 0 beğenilmeme

$n=1$ icin doğru. $n=2k+1$ icin dogru olsun. Bu durumda $4k^2+4k=8t$ olacak şekilde $t$ tamsayısı vardır. $n=2k+3$ icin ifade $4k^2+4k(1+2)+8=8t+8k+8$ olur ki tumevarim yöntemiyle ispat tamamlanir. 

30, Ekim, 2015 Handan (1,511 puan) tarafından  cevaplandı
1 beğenilme 0 beğenilmeme

$k\geq3$ tek bir sayi olsun. Bu durumda $\frac{k-1}{2}$ de pozitif tam sayi olur ve $1$'den $\frac{k-1}{2}$ sayisina kadar olan tam sayilarin toplami olan $\frac{k^2-1}{8}$ de tam sayi olur. 

30, Ekim, 2015 Sercan (23,797 puan) tarafından  cevaplandı
1 beğenilme 0 beğenilmeme
$n=2k\pm1,\ (k\in\mathbb{Z})$ olsun $(2k\pm1)^2-1=4k^2\pm4k+1-1=4k(k\pm1)$ olur, birinci cevaptan farklı olarak şunu ispatlayacağım, $n$ tane ardışık sayının çarpımı $1$'den $n$'ye kadar bütün tamsayılara hatta $n!$'e de bölünür. Bu da iki ardışık sayının çarpımının daima çift olduğunu tanıtlar: Gösterilmek istenen $$\dfrac{(k+1)(k+2)(k+3)\cdots(k+n)}{n!}\in\mathbb{Z}$$ olduğudur. $$\dfrac{k!(k+1)(k+2)\cdots(k+n)}{k!n!}=\dbinom{k+n}{n}\in\mathbb{Z}$$'dir. Dolayısıyla iki ardışık sayının çarpımı ikiye bölünür. O halde sayımız tek $n$ tamsayıları için $8$'e bölünür.
31, Ocak, 31 Deniz Tuna Yalçın (895 puan) tarafından  cevaplandı

Peki $\binom{k+n}{n}$ neden tam sayi? Nasil ispatlarsin?

Umarım çok tuhaf bir mantık değil bu ama combinatorial arguments da benzerini görmüştüm "bu aslinda n+1 tane ozdes topu k tane torbanin icine kac farkli sekilde atabilecegimizin matematiksel ifadesidir, dolayisiyla tamsayi gelecegi barizdir" (??) 

Evet. Boyle olabilir.

Yahut, pascal ucgeninde k+n inci satirdaki n+1 inci sayi olmasi, pascal ucgeninde her satirdaki sayilar bir onceki satirdaki tamsayilarin toplanmasiyla olusturuldugu icin(?)

Evet, bu sekilde tumevarim da kullanabilirsin.

Peki daha teknik ve matematiksel nasıl bir ispat kullanılabilir hocam? Siz olsanız nasıl ispatlardınız?

ilk dedigin gibi yapardim, fakat ikincisi ile tumevarim bana nedense daha saglammis gibi geliyor. 

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Carmichael'in lambda fonksiyonuna göre, eğer  $ 8 | m $ ve $(n,8)=1$ ise

                                                       $n^{\frac {\phi (m)} {2}} \equiv 1 (mod m)$                

denkliği sağlanır. Hatta bu sağlayan en küçük üstür ! 

$m=8$ için $\phi (8) = 4$ olur ve

                                                            $n^2 \equiv 1 (mod 8)$

 Genelleme de yapabiliriz. $r \geq 3$ için  $\phi (2^r) = 2^{r-1}$ olacaktır ve $n^{2^{r-2}} - 1$ sayısı, $2^{r}$ ile tam bölünür.

           

3, Şubat, 3 Dogukan633 (859 puan) tarafından  cevaplandı
3, Şubat, 3 Dogukan633 tarafından düzenlendi
...