$n$ tek bir sayi olmak uzere $n^2-1$ sayisinin $8$ sayisina tam bolunecegini ispatlayiniz.

1 beğenilme 0 beğenilmeme
39 kez görüntülendi

$n$ tek bir sayi olmak uzere $n^2-1$ sayisinin $8$ sayisina tam bolunecegini ispatlayiniz.
_____________________________
Su soruyla ilgili: link.
_____________________________
Ornek olarak bakarsak:

$1^2-1=0$
$3^2-1=8$
$5^2-1=24$
$7^2-1=48$

amac her tek sayi icin bunun saglandigini gostermek.

30, Ekim, 2015 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Sercan (23,218 puan) tarafından  soruldu

3 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme

$n=2k-1$ olsun.

$n^2-1=(2k-1)^2-1=(2k-1-1)(2k-1+1)=(2k-2)(2k)=4k(k-1)$

$k \in Z$ olduğuna göre, $k.(k-1)$ bir çift sayıdır.

O hâlde $4k(k-1)$, $8$'e bölünebilir.

30, Ekim, 2015 funky2000 (4,520 puan) tarafından  cevaplandı
1 beğenilme 0 beğenilmeme

$n=1$ icin doğru. $n=2k+1$ icin dogru olsun. Bu durumda $4k^2+4k=8t$ olacak şekilde $t$ tamsayısı vardır. $n=2k+3$ icin ifade $4k^2+4k(1+2)+8=8t+8k+8$ olur ki tumevarim yöntemiyle ispat tamamlanir. 

30, Ekim, 2015 Handan (1,510 puan) tarafından  cevaplandı
1 beğenilme 0 beğenilmeme

$k\geq3$ tek bir sayi olsun. Bu durumda $\frac{k-1}{2}$ de pozitif tam sayi olur ve $1$'den $\frac{k-1}{2}$ sayisina kadar olan tam sayilarin toplami olan $\frac{k^2-1}{8}$ de tam sayi olur. 

30, Ekim, 2015 Sercan (23,218 puan) tarafından  cevaplandı
...