Bir cevap da ben ekleyeyim. Ancak Sercan beyin ispatından farklı değil. Öncelikle topolojik uzayın bileşeni tanımını hatırlayalım.
Tanım: (X,τ) topolojik uzay, A={A|A,τ-bağlantılı} ve M(A),A'nın maksimalleri olmak üzere
A,X'in bileşeni:⇔A∈M(A)
Teorem: (X,τ) topolojik uzay, A={A|A,τ-bağlantılı} ve K={K|∖K∈τ} olmak üzere
M(A)⊆K
İspat: A∈M(A) ve A∉K olduğunu varsayalım.
A∈M(A)⇒A∈A⇒¯A∈AA∉K⇒A≠¯A⇒A⫋¯A}⇒Çelişki
Not: M(A):={A|(A∈A)[(B∈A)(A⊂B)⇒A=B]}
Burayı da incelemenizde fayda var.