Bir Topolojik Uzayın Bileşenleri-I

Question

Bir topolojik uzayın her bileşeninin kapalı olduğunu gösteriniz.

Answer 1

Diyelim ki bir bileseni kapali degil, buna $C$ diyelim. Bu durumda $\overline C$ de baglantili olur ve $C$ kumesini (properly- oz olarak?) icerdiginden celiski verir. 

Aslinda olayi baglantili bir kumeninin kapanisinin (closure) da baglantili olmasi direk veriyor.

Answer 2

Bir cevap da ben ekleyeyim. Ancak Sercan beyin ispatından farklı değil. Öncelikle topolojik uzayın bileşeni tanımını hatırlayalım.

Tanım: $(X,\tau)$ topolojik uzay, $\mathcal{A}=\{A|A, \tau\text{-bağlantılı}\}$ ve $M(\mathcal{A}), \mathcal{A}$'nın maksimalleri olmak üzere

$$A, X\text{'in bileşeni}:\Leftrightarrow A\in M(\mathcal{A})$$

Teorem: $(X,\tau)$ topolojik uzay, $\mathcal{A}=\{A|A, \tau\text{-bağlantılı}\}$ ve $\mathcal{K}=\{K|\setminus K\in \tau\}$  olmak üzere

$$M(\mathcal{A})\subseteq \mathcal{K}$$

İspat: $A\in M(\mathcal{A})$ ve $A\notin \mathcal{K}$ olduğunu varsayalım.

$$\left.\begin{array}{r} A\in M(\mathcal{A})\Rightarrow A\in \mathcal{A}\Rightarrow \overline{A}\in \mathcal{A} \\ A\notin\mathcal{K}\Rightarrow A\neq \overline{A}\Rightarrow A\subsetneqq \overline{A} \end{array}\right\}\Rightarrow \text{Çelişki}$$

Not: $\,\ M(\mathcal{A}):=\{A|(A\in\mathcal{A})[(B\in\mathcal{A})(A\subset B)\Rightarrow A=B]\}$

Burayı da incelemenizde fayda var.