$\bar{A} =\stackrel{\circ}{A}\cup \partial A$ olduğunu nasıl gösterebilirim.

Question

A^ - =Ao U dA olduğunu nasıl gösterebilirim

Comments

Her iki yönlü kapsamanın olduğunu göstereceksin. Neresinde takıldın? 

Answer 1

İspat: $x\in\overline{A}$ olsun.

$$x\in\overline{A}\Rightarrow (x\in A^{\circ}\vee x\notin A^{\circ})$$

I. Durum: $x\in A^{\circ}$ olsun. Bu durumda $\overline{A}\subseteq A^{\circ}\cup A^s$ koşulu sağlanır.

II. Durum: $x\notin A^{\circ}$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr}  x\in\overline{A}\Rightarrow (\forall U\in\mathcal{U}(x))(U\cap A\neq \emptyset)\\ x\notin A^{\circ}\Rightarrow (\forall U\in\mathcal{U}(x))(U\nsubseteq A)\Rightarrow (\forall U\in\mathcal{U}(x))(U\cap (\setminus A)=\emptyset)\end{array}\right\}\Rightarrow$

$\Rightarrow (\forall U\in\mathcal{U}(x))(U\cap A\neq \emptyset)(U\cap (\setminus A)=\emptyset)$

$\Rightarrow x\in A^s$

yani

$(x\in \overline{A})(x\notin A^{\circ})\Rightarrow x\in A^s$

yani

$$\overline{A}\subseteq A^{\circ}\cup A^s\ldots (1)$$

$x\in A^s\Rightarrow (\forall U\in\mathcal{U}(x))(U\cap A\neq \emptyset)(U\cap (\setminus A)=\emptyset)$

$\hspace{3.3 cm}\Rightarrow (\forall U\in\mathcal{U}(x))(U\cap A\neq \emptyset)$

$\hspace{3.3 cm}\Rightarrow x\in \overline {A}$ 

yani

$$A^s\subseteq \overline{A}\ldots (2)$$

öte yandan

$$A^{\circ} \subseteq A\subseteq \overline{A}\ldots (3)$$ Dolayısıyla

$$(2),(3)\Rightarrow A^{\circ} \cup A^s\subseteq \overline{A}\ldots (4)$$

$(1)$ ve $(4)$ bize isteneni verir.