Question

G bir grup,  $ C\subset D\subset G$  ise $ C_G(D) \subset C_G(C) $ olduğunu kanıtlayınız

Answer 1

Bir eleman, $D$'nin her elemanıyla değişmeliyse, $D$'nin aldığın bir altkümesinin de her elemanıyla değişmeli olur.

Answer 2

$C_G(S)= \{g \in G \: | \; sg=gs \: \text{for all } \: s \in S\}$. Bu tanimdan, bariz. $g \in G$ alalim oyleki $dg=gd \: \text{for all } \: d \in D$ o zaman $C \subset D$ oldugundan $cg=gc \: \text{for all } \: c \in C$'dir.

Comments

Biz D nin merkezleyicisinden bir eleman alıp C nin merkezleyicisinde bulmak istiyoruz sizin yaptığınız gibi çözümü aynı şekilde yazdım ancak sezinleyemedim sanırım bu da tatmin etmedi beni ,

peki aksini kabul ederek gittiğimizde ; D nin merkezleyicisi kümesinin  C nin merkezleyicisi kümesinin alt kümesi olmadığını kabul ederek izleyeceğimiz yol nasıl olur , çelişki elde etmek için çünkü direk sizin yazdığınız çözümde C nin merkezleyicisi kümesinin D nin merkezleyicisi kümesinden büyük olduğunu sezmek biraz zor gibi... sorularımın devamı gelecek :-)

                               ÇOK TEŞEKKÜR EDERİM SERCAN HOCAM.... 

                      

---

Burda eger buyuk kumenin hepsi icin saglaniyorsa kucuk kume icin de saglanmak zorunda. yani $x<1000$ icin saglanan bir teorem $x<10$ icin de saglanir. O nedenle usttekinde bir zorluk yok.

Tersinden de: Eger alt kumesi degilse $g \in C_G(D)$ var ki, tum $d \in D$ icin $gd=dg$ ama en az bir tane $c \in C$ var ki $cg \neq gc$ (ki $g \not \in C_G(C)$ olsun).

Simdi $C \subset D$ oldugundan $c \in D$. O zaman biz ilk basta $cg=gc$ olsun dedik ama $cg \neq gc$ olmali da dedik. Celiski burda.