$m>n$ ise sabit olmayan bir $\mathbb{P}^m\to\mathbb{P}^n$ morfizma yoktur.

Question

morfizma: morphism

---

Zannediyorum temel bir cebirsel geometri sorusu.

---

The Arithmetic of Elliptic Curves, Silverman, Alıştırma 1.9

Comments

Silverman, Hartshorne'daki su onermeyi ipucu olarak vermis:

Hartshorne (1.7.2) $Y$ ve $Z$, $\mathbb{P}^m$ icerisinde boyutlari sirasiyla $r$ ve $s$ olan iki varyete olsun. Bu durumda $Y \cap Z$'nin indirgenemez bilesenlerinin boyutlari $\geq r + s - m$ olmalidir. Dahasi, eger $r + s - m \geq 0$ ise o zaman $Y \cap Z$ bos kumeden farklidir.

Bu onermeyi kullanmaya calistim. Ama $m > n$ icin degil, $m \geq 2n$ icin sonuca ulasabiliyorum sadece. Sunu yaptim:

$\pi : \mathbb{P}^m \to \mathbb{P}^n$ bir morfizma olsun. $x,y \in \mathbb{P}^n$ genel pozisyonda iki nokta olsun (generic points). O zaman, $\pi^{-1}(x)$ ve $\pi^{-1}(y)$'nin boyutlari $m-n$ olacaktir. Bu, Hartshorne'da bir yerde olmali, Eisenbud'da da var. $Y = \pi^{-1}(x)$ ve $Z = \pi^{-1}(y)$ diyelim. Morfizmanin sabit olmasi demek, liflerinden (fiber) yalnizca birinin sifirdan farkli olmasi demek. Ve, dogal olarak liflerin ayrik olmasi lazim. Eger ayrik degiller ise, cakisiyor olmalari lazim. Bu fonksiyon olmanin sarti. Ama, eger $m \geq 2n$ ise, $$boy(Y) + boy(Z) - m = m -n + m-n - m = m-2n\geq 0$$ oldugu icin, $Y \cap Z \neq \varnothing$ olmali. Bu da, $x  = y$ oldugunu gosteriyor. Bu da morfizmanin sabit olmasi gerektigini gosteriyor.

---

$m > n$ olmak uzere $f: \mathbb{P}^m \to \mathbb{P}^n$ bir morfizma olsun. Yani, $f$ butun $\mathbb{P}^m$ icin tanimlanmis olsun.

O zaman bu fonksiyon, koordinatlara gectigimizde, soyle gozukmeli:

$$[x_0: x_1 : \ldots :x_m] \mapsto [f_1[x_0: \ldots : x_m] : \ldots : f_n[x_0: \ldots : x_m]]$$

Oncelikle bunun $\mathbb{P}^n$'e bir morfizma tanimlamasi icin, $f_1, \ldots, f_n$'nin homojen ve ayni dereceli olmasi gerekir. Fonksiyonun sabit olmadigini varsayarsak, en azindan bir koordinatin sabit olmadigini varsayiyoruz demektir. Bu da hicbir koordinatin sabit olmadigini varsayiyoruz demektir.

Ayrica, $\mathbb{P}^n$'e bir fonksiyon tanimlanmasi icin, hicbir koordinatin ayni anda sifir olmamasi gerekir. Yani, $f_1^{-1}(0) \cap \ldots \cap f_n^{-1}(0) = \emptyset$ olmali. Bunlarin hepsi birer hiperduzlem, koboyutlari $1$. Ve iki hiperduzlemin kesisimi boyutu yalnizca bir azaltabilir. Demek ki, azala azala en fazla $m - n$'e kadar azalabiliriz. Ama bu da sifirdan buyuk. Demek ki bu en az bir boyutlu yerde fonksiyon tanimli degilmis. O halde, bu bir morfizma olamaz.

Answer 1

$\def\PP{\mathbb{P}}$

Soru acik kalmasin. Yorumda yazdigim cevabi biraz daha acik yazayim.

$m> n $ olmak uzere $f: \PP^m \to \PP^n$ bir morfizma olsun. Yani, $f$ fonksiyonu $\PP^m$'in her noktasinda tanimlanmis olsun. 

$x =[x_0 : \ldots : x_m] \in \PP^m$ olmak uzere $f$ soyle gozukmeli:

$$f(x) = [f_0(x) : \ldots : f_n(x)]$$

Iki gozlem:

1.

$0 \notin \PP^n$ oldugu icin $f_i$'ler ayni anda sifir olamaz demektir. Baska bir deyisle, $$f_0^{-1}(0) \cap \ldots \cap f_n^{-1}(0) = \varnothing $$ olmali.

2.

$\PP^m$ uzerinde $x \sim \lambda x$ ($\lambda \neq 0$) oldugu icin, $f(x) = f(\lambda x)$ olmali. Bu da iki sey soyluyor bize. Birincisi: $i = 0, 1, \ldots, n$ icin $f_i(x) \sim f_i(\lambda x)$ olmali. Yani, $f_i$'ler homojen olmali. Ikincisi: $f_i$'lerin hepsi ayni dereceden olmali.

Simdi bu ortak derecenin sifir olmadigini, yani fonksiyonun sabit olmadigini varsayalim.

Elimizde sabit olmayan bir polinom varsa, bu fonksiyonun lifleri hiperduzlemler olmali. Bunu lineer cebirdeki gibi dusunebiliriz: $\mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$ lineer fonksiyonu sabit degil ise cekirdegi $n-1$ boyutludur (Rank-Nullity Teoremi). Temel fikir bu. Bununla biraz oynayarak $f_i^{-1}(0)$ liflerinin $\PP^m$ icerisinde hiperduzlem tanimladigina ikna olabiliriz. 

Simdi elimizde $\PP^m$ icerisinde $n$ tane hiperduzlem var. Bunlarin kesisiminin bos oldugunu iddia ediyoruz. Ama bu mumkun degil. Neden? Cunku Iki hiperduzlemin kesisimi boyutu en fazla 1 azaltabilir. Bunu da yine soyle dusunebiliriz: Orijinden gecen iki (farkli) duzlemin kesisimi bir dogrudur, ya da 4-boyutlu uzayda orijinden gecen iki (farkli) 3-boyutlu altuzayin kesisimi bir duzlemdir, 1-boyutlu olamaz. Bunlar lineer cebir diline donusturuldugunde cok kolay gorulebilecek seyler. Bu argumanlarla biraz oynayarak $\PP^m$ icerisinde de iki hiperduzlemin kesisiminin boyutu (en fazla) bir azaltacagini soyleyebiliriz.

 $n$ tane hiperduzlemi kesistirdigimizde de boyut en fazla $n-1$ dusebilir. (Karsilastirma: Orijinden gecen uc duzlemin kesisimi tek nokta olabilir.). O halde, elimizdeki $n$ tane hiperduzlemin kesisimi en az $m-n$ boyutludur:

$$boyut(f_0^{-1}(0) \cap \ldots \cap f_n^{-1}(0)) \geq m-n > 0$$

Bu da yukaridaki birinci gozlemle celisiyor. Demek ki $\PP^m$'nin en azindan bir boyutlu bir yerinde bu fonksiyon tanimsizmis. Celiskiye sebep olacak tek bir kabulumuz var: $f$'nin sabit olmadigi. Demek ki $f$ sabit olmak zorundaymis.

Comments

Eline sağlık.