Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
3 beğenilme 0 beğenilmeme
942 kez görüntülendi

pi i-ninci asal ve

sn=ni=1pi

olmak üzere

[sn,sn+1] aralığının bir tane tam kare içerdiğini nasıl gösteririz.

Lisans Matematik kategorisinde (210 puan) tarafından  | 942 kez görüntülendi

bi uygulamasi var mi bu sorunun? ya da nerden, kimin aklina gelmis.. bazen hayret etmiyor degilim yani, boyle sorulara.

Direk motivasyonu ne bilmiyorum doğrusu, Luca ile Koninck'in Analytic Number Theory kitabında rastladım. Yapay bir soruya benzemiyor, sanki başka bir problemin çözüm aşamalarında ortaya çıkmış gibi..

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme

Simdi x2 sayimiz [sn1,sn] araligindaki en buyuk kare olsun. O zaman (x+1)2 bu aralikta degil. Eger (x+1)2 sayimizin [sn,sn+1] araliginda oldugunu gosterirsek ispatimiz bitmis olur.

Once bir kac islem yapalim: (x+1)2x2=2x+1 ve x2sn, oyleyse 2x+12sn+1 ve sorumuz artik sunlarla gosterilebilir:

(Amacimiz (x+1)2 sayimizin [sn,sn+1] araliginda oldugunu gostermek. Eger biz 2x+1pn+1 oldugunu gosterirsek isimiz bitecek. Bu nedenle:)


2sn+1pn+1 ya da 4(p1+pn)(pn+11)2 ya da  4(p1+pn)p2n (burda hatta bunu gostersek anlaminda, yoksa bir onceki bunu gerektirmiyor)

Tumevarimdan son esitsizligi gosterelim: 4(p1++pn)+4pn+1p2n+1+4pn+1(pn+1+2)2p2n+2.

11'den sonra bu esitsizlik saglaiyor, o zaman ekstradan 2,3,5,7 icin kontrol etmek lazim, onlar da saglaniyor.

(25.6k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

 2x+1pn+1 oldugunu gostererek (x+1)2 sayısının sn+1 den küçük olduğunu göstermiş oluyorsunuz, peki  (x+1)2 sayısının sn den büyük olduğu bariz mi? 

Secerken oyle sectim zaten, x2 en buyugu olacak diye.

Anladım, evet haklısın. Güzel çözüm, teşekkürler.

cozerken keyif aldigim nadir sorulardan biri, ben tesekkur ederim.

20,333 soru
21,889 cevap
73,624 yorum
3,068,250 kullanıcı