Simdi x2 sayimiz [sn−1,sn] araligindaki en buyuk kare olsun. O zaman (x+1)2 bu aralikta degil. Eger (x+1)2 sayimizin [sn,sn+1] araliginda oldugunu gosterirsek ispatimiz bitmis olur.
Once bir kac islem yapalim: (x+1)2−x2=2x+1 ve x2≤sn, oyleyse 2x+1≤2√sn+1 ve sorumuz artik sunlarla gosterilebilir:
(Amacimiz (x+1)2 sayimizin [sn,sn+1] araliginda oldugunu gostermek. Eger biz 2x+1≤pn+1 oldugunu gosterirsek isimiz bitecek. Bu nedenle:)
2√sn+1≤pn+1 ya da 4(p1+⋯pn)≤(pn+1−1)2 ya da 4(p1+⋯pn)≤p2n (burda hatta bunu gostersek anlaminda, yoksa bir onceki bunu gerektirmiyor)
Tumevarimdan son esitsizligi gosterelim: 4(p1+⋯+pn)+4pn+1≤p2n+1+4pn+1≤(pn+1+2)2≤p2n+2.
11'den sonra bu esitsizlik saglaiyor, o zaman ekstradan 2,3,5,7 icin kontrol etmek lazim, onlar da saglaniyor.