Bir aralığın tam kare içerdiğini göstermek

3 beğenilme 0 beğenilmeme
96 kez görüntülendi

$p_{i}$ i-ninci asal ve

\[s_{n}=\sum_{i=1}^{n}p_{i}\]

olmak üzere

$[s_{n},s_{n+1}]$ aralığının bir tane tam kare içerdiğini nasıl gösteririz.

1, Mart, 2015 Lisans Matematik kategorisinde ayhandil (200 puan) tarafından  soruldu

bi uygulamasi var mi bu sorunun? ya da nerden, kimin aklina gelmis.. bazen hayret etmiyor degilim yani, boyle sorulara.

Direk motivasyonu ne bilmiyorum doğrusu, Luca ile Koninck'in Analytic Number Theory kitabında rastladım. Yapay bir soruya benzemiyor, sanki başka bir problemin çözüm aşamalarında ortaya çıkmış gibi..

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme

Simdi $x^2$ sayimiz $[s_{n-1},s_{n}]$ araligindaki en buyuk kare olsun. O zaman $(x+1)^2$ bu aralikta degil. Eger $(x+1)^2$ sayimizin $[s_n,s_{n+1}]$ araliginda oldugunu gosterirsek ispatimiz bitmis olur.

Once bir kac islem yapalim: $(x+1)^2-x^2=2x+1$ ve $x^2 \leq s_n$, oyleyse $2x+1 \leq 2\sqrt{s_n}+1$ ve sorumuz artik sunlarla gosterilebilir:

(Amacimiz $(x+1)^2$ sayimizin $[s_n,s_{n+1}]$ araliginda oldugunu gostermek. Eger biz $2x+1 \leq p_{n+1}$ oldugunu gosterirsek isimiz bitecek. Bu nedenle:)


$2\sqrt{s_n}+1 \leq p_{n+1}$ ya da $4(p_1+\cdots p_n) \leq (p_{n+1}-1)^2$ ya da  $4(p_1+\cdots p_n) \leq p_{n}^2$ (burda hatta bunu gostersek anlaminda, yoksa bir onceki bunu gerektirmiyor)

Tumevarimdan son esitsizligi gosterelim: $4(p_1+\cdots+p_n)+4p_{n+1} \leq p_{n+1}^2+4p_{n+1} \leq (p_{n+1}+2)^2 \leq p_{n+2}^2$.

$11$'den sonra bu esitsizlik saglaiyor, o zaman ekstradan $2,3,5,7$ icin kontrol etmek lazim, onlar da saglaniyor.

1, Mart, 2015 Sercan (23,218 puan) tarafından  cevaplandı
2, Mart, 2015 Sercan tarafından düzenlendi

 $2x+1 \leq p_{n+1}$ oldugunu gostererek $(x+1)^2$ sayısının $s_{n+1}$ den küçük olduğunu göstermiş oluyorsunuz, peki  $(x+1)^2$ sayısının $s_{n}$ den büyük olduğu bariz mi? 

Secerken oyle sectim zaten, $x^2$ en buyugu olacak diye.

Anladım, evet haklısın. Güzel çözüm, teşekkürler.

cozerken keyif aldigim nadir sorulardan biri, ben tesekkur ederim.

...