Ekvator'da ip

Question

Dünya'nın Ekvator kısmına, Dünya ile sıkı olacak şekilde uzunlukta bir ip düşünün.

Bu ipin uzunluğu 1 metre uzatıldığında, ve ipi tam gergin halde bir ucundan kaldırdığımızda ipin bu ucu Dünya'dan kaç metre yükseğe çıkmalıdır? (Resimde $h$ ile gösterilen yükseklik)

Ekvator yarıçapını 6.378,135 km olarak alınız.

Comments

Bence yarıçağı $r$ alalım.

Answer 1

Aşağıdaki şekilde belirtildiği gibi, ipin gergin durumunda ipin ucu $A$ noktasında ve Dünya'ya teğet olduğu noktalar $B$ ve $C$ olsun.

Dünya'nın merkezi $O$ noktası olarak, $BC$'yi gören açı ölçüsü $\phi$ olsun.

$ABO$ üçgeninde $h=|AO|-r=r\sec{\phi}-r=r(\sec{\phi}-1)$ (1)

$\tan{\phi}=\frac{x}{r}$ (2)

$O$ merkezli $2\phi$ açısının gördüğü $BC$ yayının uzunluğu $\frac{\phi}{2 \pi} 2\pi r$ olduğundan $BC=2r \phi$'dir.

İpimizin boyu $1$ metre uzadığından,

$2x=2r\phi+1$ (3)

(3)'te bulduğunuz eşitlikle (2)'yi tekrar yazalım:

$\tan{\phi}=\phi+\frac{1}{2r}$ (4)

Bu transcendental eşitliği çözmek zor olacağından, Maclaurin serisini açıp ilk iki terimi alalım:

$\tan{\phi} \approx \phi+\frac{\phi^3}{3}$ (5)

(1) eşitliği için $\sec{\phi} \approx 1+\frac{\phi^2}{2}$ alalım. (6)

(5) ve (4)'ten

$\phi^3=\frac{3}{2r}$ (7)

(6) ve (7)'yi (1)'de yerine koyarsak,

$h=r(1+\frac{\phi^2}{2}-1)=\frac{r \phi^2}{2}=\frac{r}{2}(\frac{3}{2r})^3$

$r=6.378.135$ metre için $h \approx 121,5$ metre bulunur.

Answer 2

Çembere her iki kolu teğet olan açının tepe noktası $A$ olsun. Açının kollarının çembere teğet olduğu noktalar  $B,C$ olsun. O zaman çember merkezi $O$ , yarıçapı $r$ olmak üzere $OAB$ dik üçgeninden $r^2+\left(x+\frac12\right)^2=(r+h)^2..........*$  bir denklem elde edilir. İkinci denklemi de sanıyorum $|BC|=2x$ yayı cinsinden kurmalıyız. Bunun için $m(BOA)=\alpha$ ise $cos(\alpha)=\frac{r}{r+h}\quad \rightarrow arccos(\frac{r}{r+h})=\alpha$ olur. 

Buradan $x= r.arccos(\frac{r}{r+h})...........**$  elde edilir. Bu iki denklemden istenen bulunur. 

Comments

Üzgünüm, cevap bu değil.

---

Yeni çözümü incelemenizi bekliyorum.

---

h=121,460725 m......

---

$\widehat{OAB}$ dik üçgeninde $|AB|=\frac{1}{2}$ olduğunu nereden çıkardınız?

$B$'nin, $B$ dışındaki diğer teğet noktası ile arasındaki yayın uzunluğunu dikkate almıyorsunuz.

Cevap yaklaşık $121.5$ metredir.

---

Çözümünüzü merak ediyorum.

---

Elimdeki çözüm için seri açılımının ilk birkaç terimi ele alınarak yaklaşık değer bulma yöntemi kullanılmış.

PC kullanılarak tam değer de hesaplanabilir tabii ki.