Aşağıdaki şekilde belirtildiği gibi, ipin gergin durumunda ipin ucu $A$ noktasında ve Dünya'ya teğet olduğu noktalar $B$ ve $C$ olsun.
Dünya'nın merkezi $O$ noktası olarak, $BC$'yi gören açı ölçüsü $\phi$ olsun.
$ABO$ üçgeninde $h=|AO|-r=r\sec{\phi}-r=r(\sec{\phi}-1)$ (1)
$\tan{\phi}=\frac{x}{r}$ (2)
$O$ merkezli $2\phi$ açısının gördüğü $BC$ yayının uzunluğu $\frac{\phi}{2 \pi} 2\pi r$ olduğundan $BC=2r \phi$'dir.
İpimizin boyu $1$ metre uzadığından,
$2x=2r\phi+1$ (3)
(3)'te bulduğunuz eşitlikle (2)'yi tekrar yazalım:
$\tan{\phi}=\phi+\frac{1}{2r}$ (4)
Bu transcendental eşitliği çözmek zor olacağından, Maclaurin serisini açıp ilk iki terimi alalım:
$\tan{\phi} \approx \phi+\frac{\phi^3}{3}$ (5)
(1) eşitliği için $\sec{\phi} \approx 1+\frac{\phi^2}{2}$ alalım. (6)
(5) ve (4)'ten
$\phi^3=\frac{3}{2r}$ (7)
(6) ve (7)'yi (1)'de yerine koyarsak,
$h=r(1+\frac{\phi^2}{2}-1)=\frac{r \phi^2}{2}=\frac{r}{2}(\frac{3}{2r})^3$
$r=6.378.135$ metre için $h \approx 121,5$ metre bulunur.
