Question

x = 1.2.3......11

y = 22222......2 (17 basamak)

z = 41 + 41 + 41 + ... + 41 (20 tane)

olduguna gore x + y + z Toplaminin 9 ile bolumunden kalan kactir ?

Answer 1

x sayısı eğer 1'den 11'e kadar olan sayıların çarpımı, yani 11! ise, içinde çarpım halinde 9 bulunduğu için 0 kalanını verir.

y sayısı için rakamları toplamını 9'a böldüğümüzde kalan bize sayının kalanını verir. Bu durumda 2.17 = 34 = 7(mod 9) olduğu için kalan 7'dir.

z sayısı için direkt olarak bölme işlemini yaparak 41.20 = 820 = 1 (mod 9) olduğunu ve kalanın 1 olduğunu görüyoruz.

Modüler aritmetiğin kuralından ötürü x (mod 9) + y (mod 9) + z (mod 9) = (x+y+z) (mod 9) olduğu için

0 + 7 + 1 (mod 9) = 8 (mod 9) dur ve toplamın 9 ile bölümünden kalan 8'dir.

Answer 2

$x$'in $9$ ile bölümünden kalan :$11!=0(mod9)$,

$y$ nin $9$ile bölümünden kalan: $17.2=34=7(mod9)$ dır.

$z$ nin $9$  ile bölümünden kalan:$41.20=820\rightarrow 8+2+0=10=1(mod9)$ dır.

Böylece $x+y+z=0+7+1=8(mod9)$ olur.