Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
533 kez görüntülendi
L/K bir cisim genislemesi S de L cisminin bir altkumesi olsun. Eger S kumesinde herhangi sonlu bir altkume {s1,,sn} icin

f(s1,,sn)=0

esitligini saglayacak bir fK[X1,,Xn] polinomu bulunabiliyorsa S kumesine K uzerinde cebirsel bagimli denir. Eger S kumesi K uzerinde cebirsel bagimli degilse, K uzerine askin denir. L icinde K uzerinde askin olan kumelerin maksimal elemani vardir (Neden?). Eger L cismini, S'yi maksimal askin almak uzere, K(S) biciminde yazabiliyorsak, L cismine K uzerine tamamen askin denir.

 

L/K tamamen askin bir genislemeyse, K cisminin L icinde kalan sonlu bir genislemesi olabilir mi?
Lisans Matematik kategorisinde (3.7k puan) tarafından  | 533 kez görüntülendi

L icinde K uzerinde askin olan kumelerin maksimal elemani vardir

Sanırım "maksimal, cebirsel bağımsız küme vardır" ı ifade etmek istemişsiniz ?

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Butun sonlu cisim genislemeleri cebirsel oldugundan, K'nin L icinde kalan bir cebirsel genislemesi olamaycagini gostermek yeterli. Bunu icin de K(S)K icinde K uzerine cebirsel bir eleman olamaycagini gostermek yeterli.

Diyelim ki aK(S)K, K  uzerine cebirsel. O zaman katsiyalri K'da olan oyle bir g polinomu var ki g(a)=0

Oteki taraftan aK(S) oldugundan, bir ln dogal sayisi icin oyle bir f(X1,...,Xl)K[X1,...,Xl] polinomu var ki  a=f(s1,...,sl) (gerekirse s1,...,sn elemanlarini yeniden siraladigimizi varsayabiliriz).


Oyleyse g(f(s1,...sl))=0. Ama bu  s1,..,sl elemanlarinin K uzerine cebirsel bagimli oldugu anlamina gelir. Fakat {s1,...,sn} kumesinin cebirsel bagimsiz oldugunu kabul ettigimiz icin bu bir celiskidir. Demek ki K'nin boyle bir sonlu genislemesi olamaz. 

(46 puan) tarafından 
20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,862 kullanıcı